GuruGuia

Questão 1328

IME

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos , e , respectivamente. Determine o valor da expressão:

Gabarito: 2

Resolução:

Seja r a razão da PA ( a , b , c ) formada pelos lados do triângulo. Assim podemos fazer a = b - r e c = b + r. Da lei dos senos e das propriedades de proporções vem:

$frac{b}{sebB}=frac{b-r}{senA}=frac{b+r}{senC}=frac{(b-r)+(b+r)}{senA+senC}$ de onde:

$frac{b}{senB}=frac{2b}{senA+senC}$ de onde:

Simplificando e observando que $senB=2cdot senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}$ e que $senA+senC=2cdot sen(frac{A+C}{2})cdot cos(frac{A-C}{2})$ , vem:

$frac{1}{2cdot senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}}=frac{2}{2cdot senfrac{(A+C)}{2}cdot cosfrac{(A-C)}{2}}$

Como $A+C=180-B$ , segue que $senfrac{(A+C)}{2}=sen(90-frac{B}{2})=cosfrac{B}{2}$ Portanto:

$frac{1}{senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}}=frac{2}{cosfrac{B}{2}cdot cosfrac{(A-C)}{2}}$

Simplificando e observando que $senfrac{B}{2}=senfrac{(180-A-C)}{2}=sen(90-frac{(A+C)}{2})=cosfrac{(A+C)}{2}$ , temos:

$frac{1}{cos(frac{A+C}{2})}=frac{2}{cos(frac{A-C}{2})}Leftrightarrow frac{cosfrac{(A-C)}{2}}{cosfrac{(A+C)}{2}}=2$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

Ver questão

Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

Ver questão

Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

Ver questão

Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

Ver questão