Questão 1333
IME
[IME - 2014/2015 - 1a fase]
Qual o resto da divisão do polinômio pelo polinômio
?
Gabarito:
Resolução:
P(x) =
D(x) =
Então essa divisão é possível e o resto R(x) = ax² + bx +c
Essa divisão pode ser escrita como P(x) = D(x)*Q(x) +R(x)
em que Q(x) é o quociente resultante da divisão.
Vamos fatorar os polinômios P(x) e D(x).
P(x) = x^24(x² -x -6) + x²(5x² -16x +3)
P(x) = x^24(x-3)(x+2) + x²*(x-3)(5x -1)
P(x) = (x-3)[x^24(x+2) + x^2(5x-1)]
D(x) = (x-3)(x²-1).
Então podemos notar que se D(x) = 0 então P(x) = R(x)
P(-1) = R(-1)
P(1) = R(1)
P(3) = R(3)
Montamos então um sistema:
-4[1 + (-6)] = a -b + c
-2[3 + 4] = a + b + c
0 = 9a + 3b +c
Reescrevendo o sistema:
a + b +c = -14
a -b + c = 20
9a + 3b + c = 0
As soluções desse sistema são a = 6, b =-17 e c = -3.
Assim R(x) = 6x² -17x -3