Questão 1334
IME
[IME - 2014/2015 - 1a fase]
Quantos restos diferentes são possíveis da divisão de por 11, sendo
um número natural ?
Gabarito:
6
Resolução:
O número n pode ser escrito como n = 11k + r, sendo r seu resto, basta analisar todos os restos possíveis de n² entre dois números múltiplos de 11.
Para r = 0, n² tem resto 0.
Para r = 1, n² tem resto 1.
Para r = 2, n² tem resto 4.
Para r = 3, n² tem resto 9.
Para r = 4, n² tem resto 16-11 = 5
Para r = 5, n² tem resto 25 - 22 = 3
Para r = 6, n² tem resto 36 - 33 = 3
Para r = 7, n² tem resto 49 - 44 = 5
Para r = 8, n² tem resto 66 - 55 = 9
Para r = 9, n² tem resto 81 - 77 = 4
Para r = 10, n² tem resto 100 - 99 = 1
E isto começa a se repetir a partir de r = 11.
Logo, são 6 restos possíveis.