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Questão 31973

ITA

(ITA - 2018 - 1 FASE)

Sobre duas retas paralelas $r$ e $s$ são tomados 13 pontos, $m$ pontos em $r$ e $n$ pontos em $s$ , sendo $m$ > $n$ . Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe - se que o quociente entre o números de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então os valores de $n$ e $m$ são, respectivamente:

2 e 11

3 e 10

4 e 9

5 e 8

6 e 7

Gabarito:

6 e 7

Resolução:

O número de triângulos é igual ao número de formas de escolher um ponto em uma reta e dois na outra:

$m(frac{n}{2}) + n(frac{m}{2})$

O número de quadriláteros é igual ao número de formas de tomar dois pontos em cada reta:

$(frac{m}{2}) . (frac{n}{2})$

Como $m > n > 1$ e $m + n = 13$ , temos:

$frac{11}{15} = frac{m(frac{n}{2})+n(frac{m}{2})}{(frac{n}{2}) . (frac{m}{2})}$

$frac{11}{15} = frac{m}{frac{m(m-1)}{2}} + frac{n}{frac{n(n-1)}{2}}$

$frac{11}{15} = frac{2}{m - 1} + frac{2}{n-1}$

$11 . (m - 1) . (n - 1) = 30 (m + n - 2)$

$11 . (m - 1)(13 - m - 1) = 30 . (13 - 2)$

$m^{2} - 13m + 42 = 0$

$m = 6$ ou $m = 7$

Conclusão:

$m = 7$ e $n = 6$ , uma vez que $m > n = 13 - m$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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