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Questão 33612

IME

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Um feixe de elétrons atravessa um capacitor carregado e furado em suas duas placas paralelas ao plano yz sendo acelerado durante a sua permanência no interior do capacitor, conforme as figuras. Logo após deixar o capacitor, o feixe penetra em uma região do espaço sujeita a um campo magnético uniforme, conforme indicado nas figuras. Sabendo que a coordenada x de qualquer elétron do feixe é não decrescente, determine:

a) o módulo da velocidade final dos elétrons;

b) as coordenadas do ponto onde o feixe deixa a região sujeita ao campo magnético;

c) a tensão E para que se obtenha $heta = 0$

d) os valores $alpha$ e $eta$ tais que, para um valor muito alto de E, a coordenada x do ponto onde o feixe de elétrons deixa a região do campo magnético possa ser aproximada por X_saída = $alpha E^{eta}$ .

Dados:

- carga do elétron: -q

- massa do elétron: m;

- tensão aplicada ao capacitor: E;

- capacitância do capacitor: C;

- coordenadas do vetor campo magnético dentro da região ABCD: (0,0, +B)

- comprimento dos segmentos AB e CD: L;

- comprimento dos segmentos BC e AD infinito;

- velocidade inicial do feixe de elétrons: v₀

Observações:

- todas as respostas não devem ser expressas em função de $heta$ ;

- a trajetória do feixe antes de entrar no capacitor coincide com o semieixo x negativo;

- o campo elétrico no interior do capacitor é constante;

- não há campo gravitacional presente.

Gabarito:

Resolução:

a) A velocidade com que o feixe de elétrons incide no capacitor é v₀e será acelerado pelo campo elétrico do campacitr até uma velocidade v. Portanto, o trabalho realizado sobre o elétrons entre as armaduras será dado por:

$au = qE = Delta E _{c}$

Portanto:

$qE = frac{m}{2} (v^{2} - v_{0}^{2}) Rightarrow v^{2} = frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}$

$v = sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}}$

b) A coordenada y na qual o elétron sai da região com influência do campo magnético é y = L. Em z não temos forças atuando, portanto z = 0.

A trajetória é circular, assim podemos determinar a coordenada x:

$(R-L)^{2} + x^{2} = R^{2}$

$R^{2} -2R cdot L + L^{2} + x^{2} = R^{2}$

$x^{2} = L cdot (2R - L)$

O raio R pode ser obtido tratando a força magnética como resultante centrípeta:

$R = frac{mv}{qB}$

Substituindo o valor de v:

$R = frac{m}{qB} cdot sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}}$

Substituindo (2) em (1)

$x^{2} = frac{2mL}{qB} sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0} ^{2}} - L^{2}$

$x = (frac{2L}{qB} sqrt{2qmE + m^{2} cdot v _{0} ^{2}} - L^{2}) ^{frac{1}{2}}$

c) se $heta = 0$ , então x = y. Portanto, da letra B:

$frac{2L sqrt{2qmE + m^{2} v_{0}^{2}}}{qB} - L^2 = L^{2}$

$frac{ sqrt{2qmE + m^{2} v_{0}^{2}}}{qB} = L$

$2qmE + m^{2} v_{0}^{2} = q^{2} B^{2} L^{2}$

$E = frac{q^{2} B^{2}L^{2} - m^{2} v_{0}^{2}}{2qm}$

d) Supondo o campo E muito grande:

$x approx (frac{2L sqrt{2qmE}}{qB}) ^{frac{1}{2}} = (sqrt{frac{8L^{2}mE}{qB^{2}}})^{frac{1}{2}}$

Assim:

$alpha = (frac{8L^{2} m}{qB^{2}}) ^{frac{1}{4}}$

$eta = frac{1}{4}$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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