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Questão 33782

IME

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Seja o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥⁴ − 8𝑥³ + 6𝑥² + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mínimo igual a −64, onde 𝑘 é uma constante real. Determine as raízes de 𝑞(𝑥).

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo o polinômio q(x), temos:

$q(x) = x^4 - 8x^3 + 6x^2 + 40x + 25 + k$

$q(x) = (x^2-4x-5)^2 + k$

Como o primeiro termo está ao quadrado, isso significa que ele sempre será maior ou igual a zero. Logo teremos o menor valor de q(x), quando $(x^2-4x-5)^2 = 0$ . Pelo enunciado sabemos que o valor mínimo do polinômio é -64, logo podemos concluir que k = -64.

Para encontrarmos as raízes do polinômio, teremos:

$(x^2-4x-5)^2 + k = 0$

$(x^2-4x-5)^2 -64 = 0$

$(x^2-4x-5)^2 = 64$

$x^2-4x-5 = pm8$

Assim teremos:

$x^2-4x-5 = 8 Rightarrow x_1 = 2-sqrt{17} ext{ } ext{ ou } ext{ } x_2 = 2+sqrt{17}$

$x^2-4x-5 = -8 Rightarrow x_3 = 3 ext{ } ext{ ou } ext{ } x_4 = 1$

Portanto, o conjunto solução será $S = left { 1,3, 2pm sqrt{17} ight }$ .

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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