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Questão 33786

IME

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

A reta r é normal à cônica 𝐶, de equação 9𝑥² − 4𝑦² = 36, no ponto $mathrm{A = left (3, ! frac{3sqrt 5}{2} ight )}$ e intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F é o foco da cônica 𝐶 mais próximo ao ponto A, determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝐹.

Gabarito:

Resolução:

$9x^2 - 4y^2 = 36$

$A = left ( 3, frac{3sqrt 5}{2} ight )$

$frac{x^2}{4} -frac{ y^2}{9} = 1 Rightarrow$

$\a = 2 \ b = 3 \ c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13 \ \ c = sqrt{13}$

Derivando implicitamente a equação da hipérbole:

$18x - 8y cdot y = 0 herefore y = frac{18x}{8y} = frac{9x}{4y }$

Coef. angular da reta tangente: $large m_overrightarrow{t} =$ $frac{9 cdot 3}{4 cdot frac{3 sqrt 5}{2}} = frac{9}{2 sqrt 5}$ .

Coef. angular da reta normal: $large m_overrightarrow{m} =$

$overrightarrow{t}: left ( y - frac{3sqrt 5}{2} ight ) = frac{-2 sqrt 5}{9} left ( x - 3 ight )$

$B = overrightarrow{t} cap 0_x Leftrightarrow y_B = 0. frac{-3 sqrt 5}{2} = frac{- 2 sqrt 5}{9} left ( X_B - 3 ight ) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow X_B - 3 = frac{27}{4} Leftrightarrow X_B = 3 + frac{27}{4} = frac{39}{4} B = left ( frac{39}{4},0 ight )$

$\L = egin{vmatrix} frac{39}{4} & 0 \ 3 & frac{3sqrt5}{2} \ sqrt{13} & 0 \ frac{39}{4} & 0 end{vmatrix} = frac{3 sqrt{65}}{2} - frac{3 cdot 39 sqrt5}{8} = frac{3 sqrt 5}{2} left ( sqrt{13} - frac{39}{4} ight ) = \ \ \ = frac{3 sqrt 5}{8} left ( 4 sqrt 13 - 39 ight ) \ \$

$A_{Delta_{ABF}} =$ $frac{|L|}{2} = frac{3 sqrt 5}{16} left ( 39 - 4 sqrt {13} ight )$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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