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Questão 33788

IME

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Um cubo com diagonal principal $overline{AG}$ é interceptado pelo plano $alpha$ , perpendicular à $overline{AG}$ , formando uma seção hexagonal regular, Calcule, em função da aresta a do cubo:

a) o apótema dessa seção hexagonal;

b) o raio da esfera que é tangente a essa seção e às faces do cubo que contém o vértice A.

Gabarito:

Resolução:

Vértices:

E = (0,0,0) A = (0, a, 0)

F = (a, 0, 0) B = (a, a, 0)

G = (a, 0, a) C = (a, a, a)

H = (0,0, a) D = (0, a, a)

$overrightarrow{AG} = (a, -a, a) = a(1, -1, 1)$

O vetor normal ao plano $Delta MNP$ deve ser paralelo ao vetor $overrightarrow{AG}$ , sendo M, N, P os pontos médios dos segmentos $overline{EF}, overline{FB}$ e $overline{EH}$ , respectivamente.

$overrightarrow{MP} cdot overrightarrow{MN} = (P-M) cdot (N-M) = left ( frac{-a}{2}, 0, frac{a}{2} ight ) cdot left ( frac{a}{2}, frac{a}{2}, 0 ight )$

$= egin{vmatrix} widehat{x} & widehat{y} & widehat{z}\ frac{-a}{2} & 0 & frac{a}{2} \ frac{a}{2} & frac{a}{2} & 0 end{vmatrix} = widehat{x} left ( frac{-a^2}{4} ight ) + widehat{y}left ( frac{a^2}{4} ight ) + widehat{z} left ( frac{-a^2}{4} ight ) = frac{-a^2}{4} (1, -1, 1)$

Tendo provado isso, $||overrightarrow{PM}|| = sqrt {left (frac{-a}{2} ight )^2 + 0^2 + left (frac{a}{2} ight )^2} = sqrt {frac{a^2}{4} +frac{a^2}{4} } = {color{Red} frac{a sqrt2}{2}} Leftarrow a)$

b) Suponha que o centro desta esfera esteja em $left (x_c, y_c, z_c ight ) = C$

$\ dyz = x_c = R \ dxz = y_c = R \ dxz = z_c = R$

Equação: $(x- R)^2 + (y- R)^2 + (z - R)^2 = R ^2 (esf.)$

$\Equa.(symbol{alpha}) : ax + by + cz + d = 0 \ x - y + z + d = 0 \ frac{a}{2} + d = 0 Rightarrow d = frac{-a}{2}$

$a - frac{a}{2} + 0 - frac{a}{2} = 0$

$d_x = left | frac{ax_c + by_c + cz_c + d}{sqrt {a^2 + b^2 + c^2}} ight | =$

$= frac{left |r - R + r - frac{a}{2} ight |}{sqrt 3} = R Rightarrow$

$R ^2 - frac{2Ra}{2} + frac{a^2}{4} = 3R^2 Rightarrow 2R^2 + Ra - frac{a^2}{4} = 0 Rightarrow$

$8K ^2 + 4aR - a^2 = 0 Rightarrow Delta = 16 a^2 + 32 a^2 = 48a^2 Rightarrow sqrt Delta = 4a sqrt 3$

$R = frac{-4 a + 4 a sqrt 3}{16} Rightarrow {color{Red} R = frac{a left ( sqrt 3 - 1 ight )}{4}}$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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