Questão 33799

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

Seja Z um número complexo tal que frac{2Z}{overline{Z}i} possui argumento igual a frac{3pi}{4} e log_{3}(2Z+2overline{Z}+1)=2. Determine o número complexo Z.

Gabarito:

Resolução:

argegin{pmatrix} frac{2Z}{overline{Z}}\ end{pmatrix}=frac{3pi}{4}                    log_{3}(2(Z+overline{Z})+1)=2

 

Z=a+bi                        Z+overline{Z}=(a+bi)+(a-bi)=2a

 

log_{3}(2(2a)+1)=2 Leftrightarrow 4a+1=9 Leftrightarrow {color{Red} a=2}

 

w=frac{2(a+bi)}{(a-bi)i}=frac{2(2+bi)}{(2-bi)i}=frac{4+2bi}{(2i-b)}frac{b-2i}{b-2i}=frac{2(2+bi)(b-2i)}{b^2+4} =\ \ \ frac{2(2b-4i+b^2i+2b)}{b^2+4}=frac{2(4b+(b^2-4)i)}{b^2+4}

 

Re (w)=frac{8b}{b^2+4}qquad Im(w)=frac{2(b^2-4)}{b^2+4}

 

anfrac{3pi}{4}=-1=frac{2(b^2-4)}{8b} herefore b^2-4=-4b herefore b^2+4b=4 herefore b^2+4b+4=8 ightarrow \ \ \ (b+2)^2=pm 2sqrt{2} herefore {color{Red} b=-2pm2sqrt{2}}

 

Z=2+(2sqrt{2}-2)i qquad ou qquad Z=2-(2+2sqrt{2})i



Questão 992

IME
  1. Física
  2. Física

(IME 2007) 

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:   

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Questão 993

IME
  1. Física
  2. Física

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso  à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser: 

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Questão 994

IME
  1. Física
  2. Física

(IME 2007)  Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita: 

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Questão 995

IME
  1. Física
  2. Física

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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