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Questão 33843

IME

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE )

A Figura 1 ilustra um tanque industrial contendo duas entradas e uma saída, além de um circuito de aquecimento. A temperatura do líquido no interior do tanque deve ser controlada, a fim de alimentar o processo industrial conectado na saída do tanque. O agitador mistura continuamente os líquidos que chegam pelas entradas, de maneira que o volume total de líquido dentro do tanque esteja sempre numa única temperatura. A perda térmica do tanque pode ser desprezada.

Considere o tanque inicialmente vazio, com a válvula de saída fechada e o sistema de aquecimento é ligado. Em t=0 a válvula de entrada 1 é aberta com uma vazão de água de 1 L/min à temperatura de 10ºC e a válvula de entrada 2 com uma vazão de água de 0,25 L/min à temperatura de 30ºC. Nessas condições determine:

a) a temperatura da água no interior do tanque em t=50 min;

b) a temperatura da água no interior do tanque em t = 150 min, se o circuito de aquecimento é ligado em t = 50 min e a potência dissipada na resistência $R_2, P_{R_2}$ varia de acordo com o gráfico da Figura 2; e

c) a tensão $V_F$ que deverá ser ajustada na fonte para manter a temperatura da água na saída em 22ºC após um longo tempo de funcionamento do sistema ( t>> 150 min), sabendo que a válvula de entrada 2 foi fechada, o volume no interior do tanque encontra-se nessa mesma temperatura de 22ºC e a válvula de saída foi aberta com a mesma vazão da válvula de entrada 1.

Dados:

$R_1 = 2 , Omega;$
$R_2 = 10 , Omega;$
1 cal = 4,2 J;
calor específico da água (c) = 1 cal/gºC
densidade da água = 1 kg/L

Gabarito:

Resolução:

a) Em t = 50 min, o líquido de vazão 1L/min terá: V1=50L a 10^oC, igualmente para o liquido 2: V2=0,25x50=1,25L a 30^oC.

Como a densidade da agua é dada como 1kg/L, achamos que: m1=50kg e m2=12,5kg.

No processo de troca de calor, m1 ira receber calor (Q₁), e m2 perder calor (Q₂).

Fazendo a conservação:

$sum Q_I=sum Q_F$

$Q_I=m_1c(T-10)$

$Q_2=m_2c(30-T)$

Substituindo:

$m_1c(T-10)-m_2c(30-T)=0$

$50T-500=375-12,5T$

$T=14^0C$

b) Em $Delta t=50 min$ a temperatura é 14^oC, como visto em a.

O líquido receberá uma quantidade de calor com valor aproximadamente igual à área do gráfico de 50 a 150 min, que pode ser dividida em dois trapézios e um retângulo.

$Q_1=(400+200).frac{25.60}{2}$

$Q_2=(400+280).frac{50.60}{2}$

$Q_3=25.280.60$

Somando-se, temos que:

$Qmathrm{total}=Q_1+Q_2+Q_3$

$Qmathrm{total}=189.10^4J$

Sabendo que 1cal = 4,2J,

$Qmathrm{total}=45.10^4cal$

Considerando a massas m₁ e m₂ após 150 min:

$m_1=150kg$ , a 10^oC

$m_2=37,5kg$ , a 30^oC

A temperatura final dessa mistura é, pela conservação,

$150.10^3(T-10)=37,5.1-^3(30-T)$

$T=14^0C$

Utilizando o calor total descobriremos a temperatura final obtida pela potência dissipada:

$45.10^4=(150+37,5).10^3.1(T_F-14)$

$T_F= 16,4^0C$

c) Como a vazão de entrada e saída é a mesma, o volume é constante. Precisa-se aquecer a massa de água que entra na válvula 1 até 22⁰C.

$Q=1frac{kg}{min}.Delta t.1(22-10)^0C$

Sendo $Delta t$ em minutos, dividimos por 60 para transformar em segundos.

$Q=frac{1.10^3}{60}.Delta t.12cal$

Transformando de calorias para Joule:

$Q=frac{1}{5}.10^3.Delta t.4,2$

$Q=840Delta tJ$

Considerando o circuito apresentado, achamos a corrente

$i=frac{V_F}{R_1+R_2}=frac{V_F}{12}$

Sabendo também que $P=frac{Q}{Delta t}$ e substituindo $Q=840Delta tJ$ e $P=R_2.i^2$ , obtém-se:

$frac{5.V_F^2}{72}=frac{840.Delta t}{Delta t}$

$V_F=12sqrt{84}$

$V_Fcong 110V$

Questão 992

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O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

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Questão 994

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(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

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