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Questão 33905

ITA

(ITA - 2018 - 1ª FASE) Sejam A e B matrizes quadradas $n imes n$ tais que $A+B=Acdot B$ e $I_{n}$ a matriz identidade $n imes n$ . Das afirmações:

I. $I_{n}-B$ é inversível;

II. $I_{n}-A$ é inversível;

III. $Acdot B=Bcdot A$ .

é (são) verdadeira(s)

A

Somente I.

B

Somente II.

C

Somente III.

D

Somente I e II.

E

Todas.

Gabarito:

Todas.

Resolução:

Pode-se considerar a afirmativa III verdadeira, uma vez que sob $(1_{n}-A).(1_{n}-B)=1_{n}$ $Rightarrow$ $(1_{n}-B)(1_{n}-A)$ , podemos obter:

$1_{n}^{2}-A-B+BA=1_{n}$

$1_{n}-(A+B)+BA=1_{n}$

$-AB +BA=0$

$BA=AB$

Pode-se considerar as afirmativas II e I verdadeiras a partir do seguinte raciocínio:

$(1_{n}-A).(1_{n}-B)=1_{n}^{2}-B-A+AB=1_{n}-(B+A)+AB=1_{n}-AB+AB$ $=1_{n}$

Sendo assim, $det[(1_{n}-A).(1_{n}-B)]=det1_{n}=1$

$det(1_{n}-A) eq 0$

Logo $1_{n}-A$ é inversível, e

$det(1_{n}-B) eq 0$ ,

Logo, $1_{n}-B$ é inversível.

Gabarito: e)

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a