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Questão 34959

ITA

(ITA - 2018 - 1 FASE) Quatro corpos pontuais, cada qual de massa m, atraem-se mutuamente devido à interação gravitacional. Tais corpos encontram-se nos vértices de um quadrado de lado L girando em torno do seu centro com velocidade angular constante. Sendo G a constante de gravitação universal, o período dessa rotação é dado por

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4-sqrt2}{2} ight )}}$

$frac{4 pi}{3} mathrm{sqrt{frac{sqrt 2 , L^3}{3Gm}}}$

$mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4 + sqrt2}{7} ight )}}$

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4- sqrt 2}{7} ight )}}$

$mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4 + sqrt 2}{2} ight )}}$

Gabarito:

$2 pi mathrm{sqrt{frac{L^3}{Gm} left ( frac{4- sqrt 2}{7} ight )}}$

Resolução:

$R=Lfrac{sqrt2}{2}$

$F_{A}=F_{C}=frac{G m^{2}}{L^{2}}$

$F_{B}=frac{G m^{2}}{(Lsqrt2)^{2}}=frac{G m^{2}}{2L^{2}}$

$F_{R}=frac{G m^{2}}{L^{2}}.sqrt2+frac{G m^{2}}{2L^{2}}$

$F_{R}=frac{G m^{2}}{L^{2}}.(sqrt2 +frac{1}{2})$

$F_{R}=F_{cp}=m omega ^{2}.frac{Lsqrt2}{2}$

$frac{G m^{2}}{L^{2}}(frac{2sqrt2 +1}{2})=momega ^{2}Lfrac{sqrt2}{2}$

$omega ^{2}=frac{G m}{L^{3}}.frac{(2sqrt2 +1)}{sqrt2}$

$omega=sqrt{frac{G m}{L^{3}}(frac{2sqrt2 +1}{sqrt2})}=frac{2pi}{T}$

$T=2pi.sqrt{frac{L^{3}}{G m}frac{sqrt2}{(2sqrt2 +1)}}$

Contudo:

$frac{sqrt2}{2sqrt2 +1}.frac{2sqrt2 -1}{2sqrt2-1}=frac{4-sqrt2}{7}$

$T=2pisqrt{frac{L^{3}}{G m}.(frac{4-sqrt2}{7})}$

Chegamos assim à alternativa D.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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