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Questão 35490

ITA

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base mede $frac {25pi}{2} cm^2$ . Dois planos, $pi_1$ e $pi_2$ paralelos à base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mesmo volume. Determine a altura de cada um desses sólidos.

Gabarito:

Resolução:

Vamos utilizar o desenho esquemático mostrado abaixo para auxiliar na resolução:

Seja $r$ o raio da circunferência inscrita, temos que:

$pi r^2 = frac{25pi}{2} Rightarrow r = frac{5sqrt{2}}{2}$

Como $AB = 2cdot r$ , teremos que:

$AB = 2cdot frac{5sqrt{2}}{2} = 5sqrt{2}$

A diagonal $AC$ será a medida do lado multiplicado por raiz de dois, logo:

$AC = 5sqrt{2}cdot sqrt{2} = 10$

E $AO$ é a sua metade, $AO = 5$ .

Utilizando Pitágoras no triângulo $AOE$ , temos:

$AO^2 + OE^2 = AE^2 Rightarrow 5^2 + OE^2 = 13^2 Rightarrow OE^2 = 144 Rightarrow OE = 12$

Agora vamos traçar os planos $pi_1$ e $pi_2$ separando a altura $OE$ em duas alturas $h_{1}$ e $h_{2}$ , medidas dos planos $pi_1$ e $pi_2$ até o vértice $E$ , respectivamente.

Utilizando semelhança de sólidos podemos comparar as alturas com os respectivos volumes. Como o volume da piramide formada pelo corte do plano $pi_1$ é um terço do volume, temos:

$left (frac{h_{1}}{OE} ight )^3 = frac{1}{3} Rightarrow left (frac{h_{1}}{12} ight ) = frac{sqrt[3]{1}}{sqrt[3]{3}} Rightarrow h_{1} = 4cdot sqrt[3]{9}$

Já a piramide formada pelo plano $pi_2$ terá o volume de dois terços do volume inicial, portanto, teremos que:

$left (frac{h_{2}}{OE} ight )^3 = frac{2}{3} Rightarrow left (frac{h_{2}}{12} ight ) = frac{sqrt[3]{2}}{sqrt[3]{3}} Rightarrow h_{2} = 4cdot sqrt[3]{18}$

Agora precisamos definir as alturas de cada um desses sólidos, então temos:

A altura do sólido 1 é: $x = h_{1} = 4sqrt[3]{9}$

Já a do sólido 2 será $y$ : $h_{2} = x+y Rightarrow 4sqrt[3]{18} = 4sqrt[3]{9}+y Rightarrow y = 4sqrt[3]{18} - 4sqrt[3]{9}$

A altura $z$ , do sólido 3, será a altura da piramide menos $h_{2}$ , logo: $z = OE - h_{2} Rightarrow z = 12 - 4sqrt[3]{18}$

Com isso calculamos todas as alturas dos sólidos.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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