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Questão 35496

ITA

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Seja $z = cosfrac pi7+ isen frac pi7$ Pedem-se:

a) Use a propriedade $z^k = cosfrac {kpi}7+ isen frac {kpi}7, k in mathbb{N}$ para expressar $cosfrac pi7, cos frac {3pi} 7$ e $cosfrac {5pi}7$ em função de $z$

b) Determine inteiros a e b tais que $frac{a}{b} = cos frac {pi }{7} + cos frac {3pi }{7} + cos frac {5pi }{7}$

Gabarito:

Resolução:

Utilizando a fórmula dada pelo enunciado podemos calcular $z^{-k}$

$z^{-k} = cos left ( frac{-kpi }{7} ight ) + icdot sen left ( frac{-kpi }{7} ight )$

Agora utilizando algumas relações trigonométricas, temos que:

$cos left ( frac{-kpi }{7} ight ) = cos left ( frac{kpi }{7} ight )$ e $sen left ( frac{-kpi }{7} ight ) = -sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

Logo $z^{-k} = cos left ( frac{kpi }{7} ight ) - icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

Agora fazemos a soma de $z^{k}$ e $z^{-k}$ , temos:

$z^{k} + z^{-k} = cos left ( frac{kpi }{7} ight ) + icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight ) + cos left ( frac{kpi }{7} ight ) - icdot sen left ( frac{kpi }{7} ight )$

$z^{k} + z^{-k} = 2cdot cos left ( frac{kpi }{7} ight )$

$cos left ( frac{kpi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{k} + z^{-k})$

a) Para $k = 1$ , teremos:

$cos left ( frac{pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{1} + z^{-1}) = frac{1}{2}cdot left (z + frac{1}{z} ight )$

Para $k = 3$ , teremos:

$cos left ( frac{3pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{3} + z^{-3}) = frac{1}{2}cdot left (z^3 + frac{1}{z^3} ight )$

Para $k = 5$ , teremos:

$cos left ( frac{5pi }{7} ight ) = frac{1}{2}cdot (z^{5} + z^{-5}) = frac{1}{2}cdot left (z^5 + frac{1}{z^5} ight )$

b) $frac{a}{b} = cosleft (frac{pi }{7} ight ) + cosleft (frac{3pi }{7} ight ) + cosleft (frac{5pi }{7} ight )$ , substituindo com os valores encontrados na letra (a), temos:

$frac{a}{b} = frac{1}{2}cdot left ( z+frac{1}{z} ight ) + frac{1}{2}cdot left ( z^3+frac{1}{z^3} ight )+ frac{1}{2}cdot left ( z^5+frac{1}{z^5} ight ) =$

$= dfrac{1}{2}cdot left ( dfrac{z^6+z^4+z^8+z^2+z^{10}+1}{z^5} ight )$

Reordenando os termos do numerador, podemos notar uma Progressão Geométrica:

$1+z^2+z^4+z^6+z^8+z^{10}$ , cujo termo inicial é $1$ e a razão é $z^2$

Calculando a soma de termos finitos dessa PG, teremos:

$frac{a_{1}(q^n-1)}{q-1} = frac{1cdot ((z^2)^6-1)}{z^2-1} = frac{z^{12}-1}{z^2-1}$

Substituindo esse valor na nossa expressão anterior, teremos:

$=dfrac{1}{2}cdotdfrac{1}{z^5} cdot left ( dfrac{z^{12}-1}{z^2-1} ight ) = dfrac{z^{12}-1}{2cdot (z^7-z^5)}$

Como:

$\ z^7 = cos left ( frac{7pi }{7} ight ) + icdot sen left ( frac{7pi }{7} ight ) Rightarrow cos(pi) - isen(pi) = -1 + 0 = -1$

Colocando $z^7$ em evidência no numerador, temos:

$dfrac{z^{7}cdot z^5-1}{2cdot (z^7-z^5)} = dfrac{(-1)cdot z^5-1}{2cdot ((-1)-z^5)} = dfrac{-z^5-1}{2cdot (-z^5-1)} = dfrac{1}{2}$

Portanto, $a/b = 1/2$ .

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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