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Questão 35850

ITA

(ITA - 2014)

Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal.

Gabarito:

Resolução:

Com base no que o enunciado nos disse, conseguimos construir as duas figuras abaixo para nos auxiliar nos cálculos, onde a primeira imagem representa a visão por cima das seis esferas e do hexágono formado por elas e a segunda imagem representa a visão lateral com as seis esferas apoiadas sobre a superfície e a sétima apoiada sobre as demais.

Sabemos que o raio das esferas menores é R e o da maior é 2R. Queremos encontrar a altura h correspondente a distância do centro H da sétima esfera até a superfície verde da figura.

Olhando para o triângulo retângulo JRH, temos que:

$JH^2 = JR^2 + RH^2$

$(3R)^2 = (2R)^2 + RH^2$

$RH^2 = 5R^2$

$RH = sqrt{5}R$

Portanto, a altura h será $sqrt{5}R + R = (sqrt{5}+1)cdot R$ .

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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