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Questão 47324

ITA

(ITA – 2014) (2ª fase) Duas espiras verticais estacionárias com aproximadamente o mesmo diâmetro $d$ , perpendiculares e isoladas eletricamente entre si, têm seu centro comum na origem de um sistema de coordenadas xyz, na qual também está centrado um ímã cilíndrico de comprimento $l ll d$ e raio $r ll l$ . O ímã tem seu polo norte no semieixo x positivo e pode girar livremente em torno do eixo vertical z, sendo mantido no plano xy. Numa das espiras, situada no plano yz, circula uma corrente $I_1 = i cos ( omega t)$ , cujo sentido positivo é o anti-horário visto do semieixo x positivo, e na outra circula uma corrente $I_2 = i sin( omega t)$ , cujo sentido positivo é o anti-horário visto do semieixo y positivo.

(a) Desprezando a diferença de diâmetro entre as espiras, obtenha o campo magnético $overrightarrow{B}$ na origem devido às correntes $I_1$ e $I_2$ , na forma $B_xhat{x} + B_yhat{y}.$ .

(b) Explique, por que, partindo do repouso em t = 0, o ímã adquire um movimento de rotação em torno de z. Em que sentido (horário ou anti-horário, visto a partir do semieixo z positivo) ocorre este giro?

(c) Ao se aumentar gradativamente a frequência angular $omega$ das correntes, nota-se que o ímã passa a girar cada vez mais rápido. Contudo, com o ímã inicialmente em repouso e se são repentinamente aplicadas correntes $I_1$ e $I_2$ de alta frequência angular, nota-se que o ímã praticamente não se move. Explique a(s) razão(ões).

Gabarito:

Resolução:

a) Sabendo que o campo gerado pela primeira espira é paralelo a 0x e de mesmo sinal que a corrente que a circula, temos que:

$B_{x} = frac{mu _{0} cdot i cdot cos (omega t)}{d} hat {x}$

Analogamente, o campo gerado pela segunda espira é paralelo a 0y e de mesmo sinal que a corrente que o circula:

$B_{y} = frac{mu _{0} cdot i cdot sen(omega t)}{d} hat y$

Portanto:

$B = frac{mu _{0} i }{d} [ (cos (omega t) hat x) + sen (omega t) hat y]$

b) O módulo do campo resultante será dado por:

$B = frac{mu _{0} i}{d}$

O vetor campo magnético está contido no plano xy e gira em torno do eixo z com uma velocidade angular constante. Como a tendência do imã é se alinhar com o campo magnético que atua sobre ele mesmo, este tende a girar no sentido anti-horário.

c) O aumento gradativo da frequência angular das correntes leva ao aumento consecutivo da frequência angular do vetor campo magnético. Considerando que o ímã irá se alinhar com o vetor campo magnético, a tendência é que este gire cada vez mais rápido. Contudo, se são aplicadas repentinamente correntes de alta frequência, a inércia do ímã causará uma diferença entre a posição do ímã e a direção do vetor campo magnético, causando desvios angulares e gerando uma oscilação do ímã em torno da posição inicial.

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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