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Questão 47325

ITA

(ITA – 2014) (2ª fase) Uma fonte de corrente é um dispositivo que fornece uma corrente invariável independentemente da tensão entre seus terminais. No circuito da figura, a corrente $alpha i$ produzida pela fonte é proporcional à corrente $i$ que circula no resistor $R$ . Inicialmente descarregadas, as placas $M$ e $N$ são carregadas após o fechamento das chaves $S_1, S_2 ; e ; S_3$ , que serão novamente abertas apos um intervalo de tempo T. A placa $M$ é então retirada do circuito e é posta em contato com um condutor $C$ descarregado (não mostrado na figura), ao qual transfere uma fração $f$ de sua carga. Em seguida, com esse contato desfeito, o condutor $C$ é totalmente descarregado. Na sequência, o mesmo procedimento é aplicado à placa $N$ , a qual transfere a $C$ a mesma fração $f$ de sua carga, sendo então o contato desfeito e descarregando-se novamente $C$ . Quando $M$ e $N$ são reintroduzidas no circuito, com as respectivas cargas remanescentes (de mesmo módulo, mas de sinais opostos), as chaves $S_1, S_2 ; e ; S_3$ são fechadas outra vez, permanecendo assim durante o intervalo de tempo T, apos o que são novamente abertas. Então, como antes, repetem-se os contatos entre cada placa e C, e este processo de carga/descarga das placas é repetido indefinidamente. Nestas condições, considerando os sucessivos processos de transferência de carga entre $M$ e $C$ , e $N$ e $C$ , determine a carga $q$ de $M$ após todo esse procedimento em função de $alpha, f , r, V_1, v_2, V_3; e; T$ . Considere $V_3 < V_2 < V_1.$

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, vamos encontrar a carga i:

Dessa malha isolada do circuito ideal obtemos que:

$V_{2} - V_{3} = Ri$

$i = frac{V_{2}-V_{3}}{R}$

A corrente que penetra o capacitor é então:

$i_{MN} = alpha cdot frac{V_{2}-V_{3}}{R}$

E a carga acumulada no primeiro procedimento descrito:

$Q_{1} = i_{MN} T$

$Q_{1} = alpha frac{V_{2}-V_{3}}{R} cdot T$

Após ser descarregado pelo condutor C, o capacitor irá retornar com um resíduo de carga igual a $Q_{R1} = Q_{1} (1-f)$ e pelo procedimento natural ganhará mais uma vez uma carga Q₁:

$Q_{2} = Q_{1} (1-f) + Q_{1}$

Repetindo esse processo:

$Q_{R2} = Q_{2}(1-f) Leftrightarrow Q_{R2} = (Q_{1}(1-f)+Q_{1}) (1-f)$

$Q_{R2} = (Q_{1} cdot (1-f)^{2} + Q_{1}(1-f))$

Analogamente:

$Q_{3} = Q_{2} (1-f) + Q_{1}$

$Q_{R3} = Q_{3} (1-f) Leftrightarrow Q_{R3} = (Q_{2}(1-f)+Q_{1})(1-f)$

$Q_{R3} = (Q_{1}(1-f)^{3} + Q_{1}(1-f)^{2} + Q_{1} (1-f))$

Sucessivamente nota-se que:

$Q_{Rn} = Q_{n} (1-f)$

$Q_{Rn} = [Q_{1}(1-f)^{n}+ Q_{1}(1-f)^{(n-1)} + cdots + Q_{1}(1-f)^{2} + Q_{1} (1-f)]$

O n-ésimo termo é o limite da soma de uma progressão aritmética infinita cujo primeiro termo é $Q_{1}(1-f)$ e a razão é $(1-f)$ :

$large Q_{Rn_{infty}} = frac{a_{1}}{1-q}$

$Q_{Rn_{infty}} = frac{Q_{1}(1-f)}{1 - (1-f)}$

$Q_{Rn_{infty}} = frac{Q_{1}(1-f)}{f}$

$oxed {Q_{Rn_{infty}} = alpha frac{V_{2}-V_{3}}{R} cdot T cdot frac{(1-f)}{f}}$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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