Questão 10

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Os coeficientes $a_{0},...,a_{2014}$ do polinômio $P(x)=x^{2015}+a_{2014}x^{2014}+...+a_{1}x+a_{0}$ são tais que $a_{i}epsilon$ {0,1}, para $0leq ileq 2014$ .

a) Quais são as possíveis raízes inteiras de P(x)?

b) Quantos polinômios da forma acima têm duas raízes inteiras distintas?

Gabarito:

Resolução:

a) Todos os coeficientes de P são inteiros. Aplicamos a regra das raízes racionais. Se o polinômio tiver alguma raiz irredutível racional, então q é divisor do coeficiente dominante (1, nesse caso) e p é um divisor de a₀. Assim, analisar-se-à dois casos:

a₀= 1. Assim a raiz poderá ser 1 ou -1;
a₀= 0. Assim x = 0 é raiz e ao dividir P por x obtemos uma situação igual à inicial, mas com grau menor;

Os únicos candidatos a raiz são 0, 1 e -1. Calculando P(1):

$P(1) = 1 + a_{2014} + a_{2013} + cdot + a_{1} +a_{0} geq 1 + 0 + 0 + cdot + 0 = 1$

Dessa forma, x = 1 não pode ser raiz e os candidatos que restam são 0 e -1.

b) Se estamos procurando 2 raízes distintas, estas devem ser necessariamente 0 e -1.

$P_{0} = a_{0} = 0$

$P(-1) = -1 + a_{2014} - a_{2013} +a_{2012} - cdots + a_{2} - a_{1}$

$P_{-1} = (a_{2014} + cdots + a_{2}) - (a_{2013} + cdots +a_{1}) - 1$

Na parte positiva desse polinômio temos n valores iguais a 1. Assim, devemos ter k - 1 valores iguais a zero na parte negativa para completar uma raiz.

De quantas formas podemos escolher os valores que serão iguais a 1? Ora:

De $igl(egin{smallmatrix} 1007\ k end{smallmatrix}igr) cdot igl(egin{smallmatrix} 1007\ k -1 end{smallmatrix}igr)$ formas, com k variando de 1 até 1007.

Vamos fazer a soma de todas essas possibilidades:

$sum_{1007}^{k=1}igl(egin{smallmatrix} 1007\ k end{smallmatrix}igr) cdot igl(egin{smallmatrix} 1007\ k -1 end{smallmatrix}igr) = sum_{1007}^{k=1}igl(egin{smallmatrix} 1007\ 1007 -k end{smallmatrix}igr) cdot igl(egin{smallmatrix} 1007\ k -1 end{smallmatrix}igr)$

Por convolução de Vandermonde:

$sum_{k=0}^{h} igl(egin{smallmatrix} m\k end{smallmatrix}igr) cdot igl(egin{smallmatrix} m+n\h end{smallmatrix}igr) = igl(egin{smallmatrix} m+n\ h end{smallmatrix}igr)$

Concluímos que:

$sum_{1007}^{k=1}igl(egin{smallmatrix} 1007\ 1007 -k end{smallmatrix}igr) cdot igl(egin{smallmatrix} 1007\ k -1 end{smallmatrix}igr) = igl(egin{smallmatrix} 1007+1007\ 1007-1 end{smallmatrix}igr) = igl(egin{smallmatrix} 2014\ 1006 end{smallmatrix}igr)$

Portanto, esse número determina quantos polinômios existem que satisfazem a condição.

Questão 10

IME 2014

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