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Questão 53648

UFPR

(UFPR - 2015 - 2ª FASE)

Um cone circular reto está inscrito em uma esfera de raio 2 cm. Indiquemos por x a distância do centro da esfera ao centro da base do cone.

a) Se x = 1 cm, calcule o volume do cone.

b) Calcule o valor de x, sabendo que o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone

Gabarito:

Resolução:

a) Olhando para o triângulo apresentado na figura, temos:

Como no item é dado que x = 1 cm, teremos que:

$2^2 = 1^2 + r^2 Leftrightarrow r^2 = 3$ cm

Além disso, a altura do nosso cone pode ser representada por:

Com isso temos que a altura do cone será 3 cm.

Dessa forma, temos que o volume do cone será:

$V_C = frac{A_{base}cdot h}{3} = frac{pi cdot r^2cdot h}{3} = frac{pi cdot 3 cdot 3}{3} = 3pi$ cm³.

b) Do enunciado da alternativa, temos que:

$V_E = 4V_C$

$frac{4}{3} pi cdot R^3 = 4cdot frac{picdot r^2 cdot h}{3}$

Onde R é o raio da esfera, r é o raio da base do cone e h a altura do cone. Substituindo R = 2 e simplificando, obtemos:

$8 = r^2cdot h$

Olhando para essa figura novamente

Vemos que a altura h será igual a 2 + x e olhando para o triângulo retângulo formado, temos:

$2^2 = r^2 + x^2 Leftrightarrow r^2 = 4-x^2$

Substituindo r² e h na primeira equação, teremos:

$8 = r^2cdot h$

$8 = (4-x^2)cdot(2+x) Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 8 = 8 + 4x -2x^2 - x^3 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x^3+2x^2-4x = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow xcdot(x^2+2x-4) = 0$

Como temos um produto resultando em zero, temos que ou $x = 0$ ou $(x^2+2x-4) = 0$

Resolvendo a segunda igualdade, obtemos:

$x^2+2x-4 = 0 Leftrightarrow x = pmsqrt{5} - 1$

Dos três possíveis valores de x, vemos que x não pode ser negativo, então temos duas possibilidades $x = sqrt{5} - 1$ ou $x = 0$ (pela representação x = 0 não faz sentido já que x não é um ponto).

Questão 2164

UFPR

(UFPR)

Em 'Ele morreu de fome', a expressão sublinhada classifica-se como:

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Questão 2766

UFPR

(Ufpr 2008)

O autor apresenta como característica fundamental da televisão a seriação. Segundo ele, essa característica

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Questão 2767

UFPR

(Ufpr 2008)

Tendo em vista o texto, considere as afirmações a seguir:

1. A indecisão entre a ética particularista (da casa, amigos, família) e a ética universalista (da rua, do mundo público) é algo que nasce na esfera política e a ela se restringe.

2. O tratamento da corrupção no Brasil é marcado pela duplicidade ética que leva a condenar os estranhos, mas relevar os delitos das pessoas próximas.

3. O combate à corrupção do governo Lula mostrou que ela está vinculada a determinadas ideologias e partidos políticos.

4. A resistência de parlamentares a julgar o presidente do Congresso Nacional faz prevalecer a ética da casa em detrimento da ética da rua.

Assinale a alternativa correta

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Questão 2873

UFPR

(UFPR - 2016 - 1ª FASE)

“E não gostavas de festa... / Ó velho, que festa grande / hoje te faria a gente”. Esses são os versos de abertura do poema “A Mesa”, parte integrante do livro Claro Enigma, de Carlos Drummond de Andrade. Neles podem ser identificados alguns elementos do poema, entre os quais o destinatário, um patriarca, a quem o eu lírico se dirige ao longo de centenas de versos. A respeito de “A Mesa” e de sua integração com outros poemas do mesmo livro, assinale a alternativa correta.

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