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Questão 5513

IME

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Uma partícula eletricamente carregada está presa a um carrinho que se move com velocidade de módulo constante por uma trajetória no plano XY definida pela parábola

Sabe-se que, em XY, um campo magnético uniforme paralelo ao vetor (3B, B) provoca força sobre a partícula. O ponto onde a partícula é submetida ao maior módulo de força magnética é

(-6,93)

(-3,39)

(1,-5)

(2,-2)

(3,-15)

Gabarito:

(3,-15)

Resolução:

MÉTODO 1: SEM CÁLCULO

1) Cálculo da inclinação do vetor campo magnético:

$tg heta_{1} = m_{1} = frac{Delta y}{Delta x} = frac{B}{3B} = frac{1}{3}$

Como queremos a força magnética máxima, então o campo magnético deve estar perpendicular a velocidade. Logo, seja $m_{2}$ a inclinação da velocidade.. para que 2 retas sejam perpendiculares, segue da Geometria Analítica que:

$r_{1}perp r_{2} Leftrightarrow m_{1}cdot m_{2} = -1 Rightarrow m_{2} = -3$

Isto é. queremos o ponto da parábola em que a inclinação da reta tangente passando por esse ponto valha -3. Deste modo, segue:

Seja $y = -3x +b$ a reta tangente procurada (note que o coeficiente angular já foi substituído) e que o ponto procurado seja $(x_{0},y_{0})$ , então:

Como esse ponto pertence tanto à reta quanto à parábola, segue que:

$egin{cases} y_{0} = -3x_{0} +b & (1) \ y_{0} = x_{0}^2-9x_{0}+3 &(2) end{cases}$

Além disso, como queremos uma tangente e não apenas uma reta qualquer que intercepte a parábola, temos que fazer que $(x_{0},y_{0})$ seja tal que tenha apenas uma intersecção, isto é, o sistema acima tem apenas uma solução nos reais. Logo:

(1) em (2)

$-3x_{0} + b = x_{0}^2-9x_{0}+3 Rightarrow x_{0}^2-6x_{0}+(3-b) = 0$

Para haver uma solução (2 raízes iguais ou 1 raíz de multiplicidade 2)

$Delta = 0 Rightarrow 36 -4cdot(3-b) = 0 Rightarrow b = -6$

Substituindo b e resolvendo a equação de 2° grau:

$x_{0}^2-6x_{0}+9 = 0 Rightarrow x_{0} = 3 Rightarrow y_{0} = -15$

OBS.: Considerar que uma reta tangente intersecta uma curva em um único ponto a rigor NÃO é correto, mas no caso de parábolas, circunferências, elipses e hipérboles (cônicas abordadas no Ensino Médio) esse fato é verdadeiro

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MÉTODO 2: COM CÁLCULO

Para termos força magnética máxima temos de ter campo magnético perpendicular à velocidade... desse modo, queremos que:

$vec{v} perp vec{B}Rightarrow <vec{v},vec{B}> = 0$ , ou seja, o produto escalar (ou interno) entre B e v deve ser nulo... logo:

$<(v_{x},v_{y}),(3B,B)>=0 Rightarrow 3v_{x}B + v_{y}B = 0$

$herefore v_{y} = -3v_{x}$

Como a velocidade é sempre tangente a trajetória, então, segue que a inclinação da trajetória será dada por:

$tg heta = frac{v_{y}}{v_{x}} = -3$

Como essa inclinação é exatamente a derivada da função, então:

$y=-3$

Desse modo, queremos o ponto da parábola com inclinação -3. Logo:

$y = 2x -9 = -3 Rightarrow x = 3Rightarrow y = -15$

Dúvidas ou sugestões? Comentem!!!

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