GuruGuia

Questão 58738

ITA

(ITA - 2021 - 2ª FASE)

O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é 1 e a soma de seus primeiros 79 termos é igual ao produto de seus primeiros 13 termos. Determine:

(a) a soma dos 40 primeiros termos;

(b) o produto dos 7 primeiros termos.

Gabarito:

Resolução:

$a_1 = 1$ e $q$ é a razão.

Soma dos primeiros 79 termos é $S_{79}$ .

$S_{79} = a_1 frac{(1-q^{79})}{(1-q)} ightarrow S_{79} = 1 imes frac{(1-q^{79})}{(1-q)} (I)$

E o produto dos 13 primeiros termos chamaremos de $P_{13}$ e vale:

$P_{13} = a_1 imes (a_1 q) imes (a_1q^2) imes ... imes (a_1q^{12}) =$

$=1 imes q^1 imes q ^2 imes q^3 imes ... imes q^{12} =$

$= q^{(1+2+3+4+...+12)} = q^{78} ightarrow P_{13} =q^{78} (II)$

De I e II temos que $S_{79} = P_{13} =$

$= frac {1-q^{79}}{1-q} = q^{78} ightarrow 1-q^{79} = q^{78} cdot (1-q) =$

$1-q^{79} = q^{78} - q^{77} ightarrow q^{78} = 1 ightarrow q = pm 1$

mas que deve ser $eq 1 ightarrow q = -1$

a) A soma dos 40 primeiros termos é :

$S_{40}=frac{1(-1)^{40}-1}{-1-1}=0$

b) O produto dos 7 primeiros termos: $1 cdot (- 1) cdot 1 cdot (- 1) cdot 1 cdot (- 1) cdot 1 =-1$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a