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Questão 59859

UNICAMP

(UNICAMP - 2021 - 2ª FASE)

Sejam 𝑎, 𝑏 números reais positivos. Considere a sequência de polígonos 𝑃1 , 𝑃2 , ⋯ , 𝑃𝑛, ⋯ construídos da seguinte forma:

• 𝑃1 é um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura 1;

• 𝑃2 é obtido de 𝑃1 , retirando dele um retângulo de lados medindo 𝑎/2 e 𝑏/2, como mostra a figura 2;  𝑃3 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 3 retângulos de lados medindo 𝑎/3 e 𝑏/3, como mostra a figura 3;

• 𝑃4 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 6 retângulos de lados medindo 𝑎/4 e 𝑏/4, como mostra a figura 4;

• E assim, sucessivamente, 𝑃𝑛 é obtido de 𝑃1 , como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de 𝑃₂₀₂₁.

b) Seja 𝐴𝑛 a área do polígono 𝑃𝑛, e seja 𝐴 a área do triângulo retângulo de catetos com medidas 𝑎 e 𝑏. Encontre a razão $R_n=frac{A_n}{A}$ , para 𝑛 arbitrário.

Gabarito:

Resolução:

Letra A)

É possível visualizar, na letra A, que o perímetro de todas as formações será constante, igual a:

${color{Red} P=2(a+b)}$

E para encontrarmos o número de lados, é só analisarmos a seguinte formação:

$a_{1}=4$

$a_{2}=6$

$a_{3}=8$

$a_{2021}=4+2020cdot 2$

${color{Red} a_{2021}=4044}$

Letra B)

Para encontrarmos a área do polígono de n lados, vamos começar encontrando o número de blocos sobre o qual ele é formado:

$a_{1}=1$

$a_{2}=a_{1}+2$

$a_{3}=a_{2}+3$

$a_{n}=a_{n-1}+n$

Fazendo essa soma, encontramos:

$a_{n}=1+2+3+...+n$

$a_{n}=left (1+n ight )cdot frac{n}{2}$

Logo para encontrarmos a área, basta multiplicarmos esse valor pela área de de cada retângulo de lado de lado $a/n$ e $a/n$ , ficando:

$S=left (1+n ight )cdot frac{n}{2}cdot frac{a}{n}cdot frac{b}{n}$

$S=left (1+n ight )cdot frac{acdot b}{2n}$

E sabemos que a área do triângulo retângulo de lados a e b é $s=frac{1}{2}cdot ab$

E a razão pedida é dada por:

$R_n=frac{A_n}{A}$

$R_n=frac{left (1+n ight )cdot frac{acdot b}{2n}}{frac{1}{2}cdot ab}_{_{_{_{}}}}$

${color{Red} R_n=frac{1+n}{n}}$

Questão 2440

UNICAMP

(Unicamp 2016)

Em sua versão benigna, a valorização da malandragem corresponde ao elogio da criatividade adaptativa e da predominância da especificidade das circunstâncias e das relações pessoais sobre a frieza reducionista e generalizante da lei. Em sua versão maximalista e maligna, porém, a valorização da malandragem equivale à negação dos princípios elementares de justiça, como a igualdade perante a lei, e ao descrédito das instituições democráticas.

(Adaptado de Luiz Eduardo Soares, Uma interpretação do Brasil para contextualizar a violência, em C. A. Messeder Pereira, Linguagens da violência. Rio de Janeiro: Rocco, 2000, p. 23-46.)

Considerando as posições expressas no texto em relação à valorização da malandragem, é correto afirmar que:

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Questão 2558

UNICAMP

(UNICAMP - 2016 - 1ª fase)

É possível fazer educação de qualidade sem escola

É possível fazer educação embaixo de um pé de manga? Não só é, como já acontece em 20 cidades brasileiras e em Angola, Guiné-Bissau e Moçambique.

Decepcionado com o processo de “ensinagem”, o antropólogo Tião Rocha pediu demissão do cargo de professor da UFOP (Universidade Federal de Ouro Preto) e criou em 1984 o CPCD (Centro Popular de Cultura e Desenvolvimento).

Curvelo, no Sertão mineiro, foi o laboratório da “escola” que abandonou mesa, cadeira, lousa e giz, fez das ruas a sala de aula e envolveu crianças e familiares na pedagogia da roda. “A roda é um lugar da ação e da reflexão, do ouvir e do aprender com o outro. Todos são educadores, porque estão preocupados com a aprendizagem. É uma construção coletiva”, explica.

O educador diz que a roda constrói consensos. “Porque todo processo eletivo é um processo de exclusão, e tudo que exclui não é educativo. Uma escola que seleciona não educa, porque excluiu alguns. A melhor pedagogia é aquela que leva todos os meninos a aprenderem. E todos podem aprender, só que cada um no seu ritmo, não podemos uniformizar.”

Nesses 30 anos, o educador foi engrossando seu dicionário de terminologias educacionais, todas calcadas no saber popular: surgiu a pedagogia do abraço, a pedagogia do brinquedo, a pedagogia do sabão e até oficinas de cafuné. Esta última foi provocada depois que um garoto perguntou: “Tião, como faço para conquistar uma moleca?” Foi a deixa para ele colocar questões de sexualidade na roda.

Para resolver a falência da educação, Tião inventou uma UTI educacional, em que “mães cuidadoras” fazem “biscoito escrevido” e “folia do livro” biblioteca em forma de festa) para ajudar na alfabetização. E ainda colocou em uso termos como “empodimento”, após várias vezes ser questionado pelas comunidades: “Pode [fazer tal coisa], Tião?” Seguida da resposta certeira: “Pode, pode tudo”.

Aos 66 anos, Tião diz estar convicto de que a escola do futuro não existirá e que ela será substituída por espaços de aprendizagem com todas as erramentas possíveis e necessárias para os estudantes aprenderem.

"Educação se faz com bons educadores, e o modelo escolar arcaico aprisiona e há décadas dá sinais de falência. Não precisamos de sala, recisamos de gente. Não precisamos de prédio, precisamos de espaços de aprendizado. Não precisamos de livros, precisamos ter todos os nstrumentos possíveis que levem o menino a aprender.”

Sem pressa, seguindo a Carta da Terra e citando Ariano Suassuna para dizer que “terceira idade é para fruta: verde, madura e podre”, Tião diz se entir “privilegiado” de viver o que já viveu e acreditar na utopia de não haver mais nenhuma criança analfabeta no Brasil. “Isso não é uma política e governo, nem de terceiro setor, é uma questão ética”, pontua.

(Qsocial, 09/12/2014. Disponível em http://www.cpcd.org.br/portfolio/e_possivel_fazer_educacao_de_qualidade_100_escola/.)

A partir da identificação de várias expressões nominais ao longo do texto, é correto afirmar que:

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Questão 2559

UNICAMP

(Unicamp 2016)

Em relação ao trecho “E ainda colocou em uso termos como ‘empodimento’, após várias vezes ser questionado pelas comunidades: ‘Pode [fazer tal coisa], Tião?’ Seguida da resposta certeira: ‘Pode, pode tudo’”, é correto afirmar

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Questão 2560

UNICAMP

(Unicamp 2015)

Dados numéricos e recursos linguísticos colaboram para a construção dos sentidos de um texto.

Leia os títulos de notícias a seguir sobre as vendas do comércio no último Dia dos Pais.

Venda para o Dia dos Pais cresceu 2% em relação ao ano passado.

Adaptado de O Diário Online, 15/08/2014. Disponível em http://www.odiarioonline.com.br/noticia/26953/. Acessado em 20/08/2014.

Só 4 em cada 10 brasileiros compraram presentes no Dia dos Pais.

Época São Paulo, 17/08/2014. Disponível em http://epoca.globo.com/regional/sp/Consumo. Acessado em 20/08/2014.

Podemos afirmar que:

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