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Questão 62954

ACAFE

(ACAFE - 2017) Analise as afirmações a seguir.

I) No triângulo MON, as medidas são indicadas em centímetros.

Se OP é bissetriz do ângulo MON, então a medida do lado MN é 42cm.

II) Numa progressão aritmética crescente de 51 termos, a₃ + a₄₉ = 198 e a₅ + a₄₇ = k. Então, o valor de k/9 é 22.

III) Para ser classificado para a última fase de um concurso público um candidato deve atingir nota superior ou igual a 7,00 na média ponderada de suas três primeiras avaliações. As notas de Jonas foram 5,50; 6,80 e 7,70 e os pesos das avaliações são, respectivamente, 1, 2 e 3. Portanto, Jonas não foi classificado para última fase.

IV) Determinado medicamento manipulado é constituído somente de três elementos: substância A (2mL), substância B (3mL) e água, totalizando 10ml de medicamento. Para melhorar o efeito do medicamento, é indicado dobrar a quantidade da substância A mantendo as quantidades das demais. Dessa forma, a nova mistura será constituída de 40% da substância A.

Todas as afirmações corretas estão em:

I - II

III - IV

I - II - III

II - III – IV

Gabarito:

I - II

Resolução:

I) Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

$frac{52}{x^2+1}=frac{32}{3x+1}$

$52 cdot (3x+1) = 32 cdot (x^2 + 1)$

$156x+52= 32x^2 + 32$

$32x^2 - 156x - 20 = 0$

Simplicando:

$8x^2 - 39x -5 = 0$

Resolvendo:

$Delta = (-39)^2 -4 cdot 8 cdot (-5)$

$Delta = 1521 + 160$

$Delta = 1681$

$sqrt{1681} = 41$

$x_1 = frac{-(-39)+41}{2cdot8} = frac{80}{16} = 5$

$x_2 = frac{-(-39)-41}{2cdot8} = frac{-2}{16}$

Podemos ver que x2 não é solução, pelas condições de existência do triângulo.

Assim, x = 5, e MN mede:

$5^2 + 1 + 3cdot 5 + 1 = 25 + 1 + 15 + 1 = 42$

Verdadeiro.

II) $a_3 = a_1 + 2r$

$a_{49} = a_1 + 48r$

$a_{5} = a_1 + 4r$

$a_{47} = a_1 + 46r$

Assim, note que:

$a_{3}+ a_{49} = a_1 + 2r + a_1 + 48r =2a_1 + 50r = 198$

E a outra soma é $a_{5}+ a_{47} = a_1 + 4r + a_1 + 46r = 2a_1 + 50r$

Assim, podemos ver que as duas somas são exatamente iguais, ou seja: $a_{5}+ a_{47} = 198$

E $frac{198}{9}=22$ .

Verdadeiro.

III) A media ponderada é:

$frac{1cdot5,5 + 2 cdot 6,8 + 3 cdot 7,7}{1+2+3} = frac{5,5 + 13,6 + 23,1}{6} = frac{42,2}{6} > 7$

Falso.

IV) Quando for dobrada a quantidade da substância A, serão adicionados mais 2mL desta substância. Assim, o medicamento que tinha 10 mL passará a ter 12 mL, e 4 mL da substância A:

$frac{4}{12} =0,333...$