Questão 66967

(IME - 2021/2022)

Seja B o conjunto de todos os valores de x  epsilon  mathbb{R} para os quais a soma dos termos da progressão

-frac{4}{3x},frac{16}{9x^2},-frac{64}{27x^3}, frac{256}{81x^4},...

assume um valor finito. Define-se a função f:B
ightarrow mathbb{R}, para cada x  epsilon  B, tal que

f(x)=-frac{4}{3x}+frac{16}{9x^2}-frac{64}{27x^3}+frac{256}{81x^4}-...

A soma das raízes da equação f(x)=-x,  x  epsilon  B, é:

A

0

B

-2

C

-frac{4}{3}

D

frac{2}{3}

E

frac{4}{3}

Gabarito:

-2



Resolução:

Primeiramente, nota-se que x
eq0, pois está no denominador dos termos da progressão apresentada. Em seguida, perceba que a razão entre um termo e o seu antecessor é constante e igual a q, tal que:

 

q = frac{frac{16}{9x^2}}{-frac{4}{3x}} = -frac{4}{3x}

Logo, trata-se de uma progressão geométrica, PG, de razão q=-frac{4}{3x}. É importante definir que para que seja possível realizar a soma dos termos de uma PG infinita, |q| < 1, ou seja:

|frac{-4}{3x}| < 1

frac{1}{|3x|} <frac{ 1}{4}

3x > 4

x > frac{4}{3}

Ou:

3x < -4

x < frac{-4}{3}

Como queremos uma soma finita para uma PG infinita, temos que a soma, S_{infty}, dos infinitos termos é dada por:

S_{infty} = frac{a_1}{1-q} = frac{-frac{4}{3x}}{1-(frac{-4}{3x})}= -frac{4}{3x+4}

Assim, temos que:

 

f(x) = S_{infty} = -frac{4}{3x+4}

 

Resolvendo a equação pedida, ficamos com:

 

f(x) = -x Rightarrow -frac{4}{3x+4} = -x Rightarrow 4 = 3x^2+4x Rightarrow 3x^2+4x-4 = 0

As raizes encontradas são x=frac{2}{3} e x=-2. Porém apenas x=-2 obedece a condição de existência dessa PG ( |q| < 1), assim é a única raiz possível.

Seja S a soma das raízes possíveis dessa equação quadrática. Assim, temos que:

S = -2

	herefore oxed{S=-2}

Alternativa correta é a letra B.



Questão 992

(IME 2007) 

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:   

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Questão 993

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso  à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser: 

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Questão 994

(IME 2007)  Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita: 

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Questão 995

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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