Questão 66976
(IME - 2021/2022)
Um prisma possui um ânguo agudo 
e índice de refração variável de acordo com a expressão:
%20=%20A%20+%20%5Cfrac%20%7BB%7D%7B%5Clambda%20%5E2%7D)
em que A e B são constantes e 
é o comprimento de onda.
Uma luz branca vinda do ar (
) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersão cromática no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espectrais no intervalo: 
.
Consideração:
- Os ângulos
e são tão pequenos que a aproximação %20%5Ccong%20x)
é válida, para 
ou 
.
Diante do exposto, a maior abertura angular 
entre as componentes espectrais é aproximadamente:
Gabarito:
%7D%7B(%5Clambda%20_1%20%5Clambda_2)%5E2%7D)
Resolução:
Usando as aproximações do enunciado, fazemos:
%5C%5Cn%5Ccdot%5Csin(i_2)=n_0%5Ccdot%5Csin(r_2)%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cxrightarrow%7B%5Csin(x)%5Capprox%20x%7D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20n_0%5Ccdot%5Ctheta_0=n%5Ccdot%20r_1%5C%5Cn%5Ccdot%20i_2=n_0%5Ccdot%20r_2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C%5Ctext%7BEm%20um%20prisma%20como%20esse,%20temos%20a%20seguinte%20relacao:%7D%5C;%5Calpha=r_1+i_2.%5C%5C%5Ctext%7BCom%20isso:%7D%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20n_0%5Ccdot%5Ctheta_0=n%5Ccdot%20r_1%5C%5Cn%5Ccdot%20i_2=n_0%5Ccdot%20r_2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20n_0%5Ccdot%5Ctheta_0=n%5Ccdot%20r_1%5C%5Cn%5Ccdot%20(%5Calpha-r_1)=n_0%5Ccdot%20r_2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5CRightarrow%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20r_1=%5Cfrac%7Bn_0%5Ccdot%5Ctheta_0%7D%7Bn%7D%5C%5Cr_1=%5Calpha-%5Cfrac%7Bn_0%5Ccdot%20r_2%7D%7Bn%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
Igualando as relações de r1:
%5C%5C%5Ctherefore%20%5Cunderline%7Br_2=%5Cfrac%7Bn%5Ccdot%5Calpha%7D%7Bn_0%7D-%5Ctheta_0%7D)
Pela imagem, podemos ver que o 
será calculado assim:
=%5Ctheta_0+%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%5Ccdot%5Calpha%7D%7Bn_0%7D-%5Ctheta_0%5Cright)-%5Calpha%5C%5C%5Cunderline%7B%5CDelta%20=%20%5Cfrac%7Bn%5Ccdot%5Calpha%7D%7Bn_0%7D-%5Calpha=%5Calpha%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn_0%7D-1%5Cright)%7D)
Por fim:
-%5Calpha%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7BA+%5Cfrac%7BB%7D%7B%5Clambda_1%5E2%7D%7D%7Bn_0%7D-1%5Cright))
![Delta heta=alphacdotleft[frac{frac{Acdotlambda_2^2+B}{lambda_2^2}}{n_0}-1-left(frac{frac{Acdotlambda_1^2+B}{lambda_1^2}}{n_0}-1
ight )
ight]=alphacdotleft[ frac{Acdotlambda_2^2+B}{lambda_2^2cdot n_0}-1-left(frac{Acdotlambda_1^2+B}{lambda_1^2cdot n_0}-1
ight )
ight ]=](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%5Ctheta=%5Calpha%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BA%5Ccdot%5Clambda_2%5E2+B%7D%7B%5Clambda_2%5E2%7D%7D%7Bn_0%7D-1-%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cfrac%7BA%5Ccdot%5Clambda_1%5E2+B%7D%7B%5Clambda_1%5E2%7D%7D%7Bn_0%7D-1%20%5Cright%20)%5Cright%5D=%5Calpha%5Ccdot%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7BA%5Ccdot%5Clambda_2%5E2+B%7D%7B%5Clambda_2%5E2%5Ccdot%20n_0%7D-1-%5Cleft(%5Cfrac%7BA%5Ccdot%5Clambda_1%5E2+B%7D%7B%5Clambda_1%5E2%5Ccdot%20n_0%7D-1%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5D=)
)
%7D%7B(%5Clambda_1%5Ccdot%5Clambda_2)%5E2%7D%7D)