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Questão 66992

IME

(IME - 2021/2022)

Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?

$egin{pmatrix}100\0 end{pmatrix}^2+egin{pmatrix}100\1 end{pmatrix}^2+...+egin{pmatrix}100\100 end{pmatrix}^2=egin{pmatrix}200\100 end{pmatrix}^2$ .

$egin{pmatrix}100\39 end{pmatrix}+egin{pmatrix}100\40 end{pmatrix}=egin{pmatrix}101\40 end{pmatrix}$ .

$2 imes1 imes inom{100}{2}+3 imes2 imesinom{100}{3}+4 imes3 imesinom{100}{4}+...+100 imes99 imesinom{100}{100}=9900 imes2^{98}$ .

$inom{100}{1}+2 imesinom{100}{2}+3 imesinom{100}{3}+...+100 imesinom{100}{100}=100 imes2^{99}$

$1-inom{100}{1}+inom{100}{2}-inom{100}{3}+...+inom{100}{100}=0$

Gabarito:

$egin{pmatrix}100\0 end{pmatrix}^2+egin{pmatrix}100\1 end{pmatrix}^2+...+egin{pmatrix}100\100 end{pmatrix}^2=egin{pmatrix}200\100 end{pmatrix}^2$ .

Resolução:

A. Identidade de Vandermonde: $inom{m+n}{r}=sum_{k=0}^{r}inom{m}{k}cdot inom{n}{r-k}$ .

Para o caso de $m=n=r$ , temos que: $inom{2m}{m}=sum_{k=0}^{m}inom{m}{k}cdot inom{m}{m-k}=sum_{k=0}^{m}inom{m}{k}^2$ .

Dessa forma, a alternativa é incorreta por apresentar como resultado $inom{200}{100}^2$ , uma vez que o resultado correto é $inom{200}{100}$

B. Relação de Stiffel: $inom{n}{k}+inom{n}{k+1}=inom{n+1}{k+1}$ . Alternativa correta.

C. A equação representada é $sum_{k=2}^{100}inom{100}{k}cdot frac{k!}{(k-2)!}$ . Simplificando, chegamos à: $sum_{k=2}^{100}frac{100!}{k!(100-k)!}cdot frac{k!}{(k-2)!}=sum_{k=2}^{100}frac{100!}{(100-k)!(k-2)!}$ $=frac{100!}{98!cdot0!}+frac{100!}{97!cdot1!}+frac{100!}{96!cdot2!}+...frac{100!}{0!cdot98!}$

$=frac{100cdot99cdot98!}{98!cdot0!}+frac{100cdot99cdot98!}{97!cdot1!}+frac{100cdot99cdot98!}{96!cdot2!}+...frac{100cdot99cdot98!}{0!cdot98!}$ $=100cdot99cdot[inom{98}{0}+inom{98}{1}+inom{98}{98}]=9900cdot 2^{98}$

Alternativa correta.

A equação representada é $sum_{k=1}^{100}inom{100}{k}cdot k$ . Simplificando, chegamos à: $=sum_{k=1}^{100}frac{100!cdot k}{k!(100-k)!}=sum_{k=1}^{100}frac{100!}{(k-1)!(100-k)!}$ $=frac{100!}{99!cdot0!}+frac{100!}{98!cdot1!}+frac{100!}{97!cdot2!}+...frac{100!}{0!cdot99!}$

$=frac{100cdot99!}{99!cdot0!}+frac{100cdot99!}{98!cdot1!}+frac{100cdot99!}{97!cdot2!}+...frac{100cdot99!}{0!cdot99!}$ $=100cdot[inom{99}{0}+inom{99}{1}+inom{99}{99}]=100cdot 2^{99}$

Alternativa correta.

E. $(1+1)^n=2^n=inom{n}{0}+inom{n}{1}+..+inom{n}{n}$

$(1-1)^n=0=inom{n}{0}-inom{n}{1}+inom{n}{2}-inom{n}{3}..+inom{n}{n}$

Subtraindo a segunda equação da primeira equação: $2^n-0=-2inom{n}{1}-2inom{n}{3}...$

$2^{n-1}=-inom{n}{1}-inom{n}{3}...$

A equação que queremos é o resultado da primeira equação menos o duas vezes a segunda:

$x=2^n-2cdot 2^{n-1}=2^n-2^n=0$

Alternativa correta.

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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