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Questão 67273

IME

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q médio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A é projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M', respectivamente, e também nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N', respectivamente. O plano M M' N N' divide o tretaedro em dois volumes com razão de 1 para 4. Determine QP em função de a.

Gabarito:

Resolução:

$x=PQ$

$frac{a}{2}-x=AP$

$frac{a}{2}+x=BP$

1) No $Delta ABC$ , temos que $Pwidehat{A}M=Pwidehat{B}N=60^circ$ :

$AM=APcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

$BN=BPcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

Analogamente para o triângulo $Delta ABD$ :

$AM=APcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

$BN=BPcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

2) No triângulo $Delta AMM$ , $AM=AM$ e $Mwidehat{A}M=60^circ$ , assim temos que $MM=AM=AM=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

No triângulo $Delta BNN$ , $BN=BN$ e $Nwidehat{B}N=60^circ$ , assim temos que $NN=BM=BN=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

No $Delta ACD$ , temos:

$MCDM=Delta ACD =Delta AMM$

$=frac{a^2sqrt{3}}{4}-[(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}]cdot frac{sqrt{3}}{4}$

$=frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{15a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})$

No $Delta DBC$ , $[Delta NNC]=frac{NC}{BC}cdot [Delta NBC]=$

$frac{NC}{BC}cdot frac{BN}{BD} [Delta BDC]=$

$(1-frac{NB}{BD})cdot (frac{BN}{BC})cdot frac{a^2sqrt{3}}{4}=$

$frac{(frac{3a}{4}-frac{x}{2})cdot (frac{a}{4}+frac{x}{2})}{a^2}cdot frac{a^2sqrt{3}}{4}=$

$frac{sqrt{3}}{4}cdot(frac{3a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})$

O maior volume do maior dos sólidos selecionados por $MMNN$ é:

$Vol(nMMDC)+Vol(MNNC)=$

$frac{1}{3}cdot d(n, MMDC)cdot [MMDC]+frac{1}{3}cdot d(M, BCD)cdot [Delta NNC]=$

Como $frac{asqrt{6}}{3}$ é altura de $ABCD$ :

$d(n, MMDC)=frac{DN}{BD}cdot frac{asqrt{6}}{3}=(1-frac{BN}{BD})cdot frac{asqrt{6}}{3}=(frac{3a}{4}+frac{x}{2})cdot frac{asqrt{6}}{3}$

Então, o volume é:

$frac{1}{3}cdot (frac{3a}{4}-frac{x}{2})cdot frac{sqrt{6}}{3}cdot frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{15a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})+frac{1}{3}cdot (frac{3a}{4}+frac{x}{2})cdot frac{sqrt{6}}{3}cdot frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{3a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})=$

$frac{sqrt{2}}{12}cdot (frac{27a^3}{32}-frac{3ax^2}{8})=$

Mas o volume é $frac{4}{4+1}cdot Vol(ABCD)=frac{4}{5}cdot frac{a^3sqrt{2}}{12}$

Portanto:

$frac{sqrt{2}}{12}cdot (frac{27a^3}{32}-frac{3ax^2}{8})=frac{4}{5}cdot frac{a^3sqrt{2}}{12}$

$frac{27a^2}{32}-frac{3x^2}{8}=frac{4a^2}{5}$

$frac{3x^2}{8}=a^2(frac{27}{32}-frac{4}{5})=frac{7a^2}{160}$

$x=frac{asqrt{7}}{sqrt{60}}=frac{asqrt{105}}{30}$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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