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Questão 76406

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Uma roda de raio $d$ pode girar livremente com relção ao seu centro $O$ , a partir de $t= 0$ , partindo do repouso. Na roda, são fixadas oito cargas elétricas de magnitude $q (q > 0)$ , equiespaçadas, como na figura da direita. Na região, há um campo elétrico não uniforme no sentido positivo do eixo x. A magnitude desse campo é dada pelo gráfico à esquerda, sendo y = 0 a extremidade inferior da roda, como na figura da direita.

A respeito do movimento, determine:

a) o sentido de rotação da roda imediatamente após o início do movimento, justificando sua resposta;

b) o módulo do torque por causa da força elétrica, em $t= 0$ , relativamente ao centro da roda.

Gabarito:

Resolução:

A) O módulo do campo elétrico decresce com a altitude, isso torna os torques sobre as cargas inferiores $(0leq yleq d)$ mais acentuados, em intensidade, em relação às cargas superiores $(dleq yleq 2d)$ .

Desse modo, já que as forças sobre as cargas apontam no sentido positivo de x, os torques sobre as cargas superiores fazem o sistema rotacionar no sentido horário ao passo que os torques sobre as cargas inferiores, que são maiores, fazem o sistema rotacionar no sentido anti-horário.

Assim, o sentido de rotação é o anti-horário.

$vec{E}=(tan(eta)+E_0)hat{x}$

$vec{E}=(-frac{E_0}{4d}y+E_0)hat{x}$

$vec{E}(y)=E_0 left (1-frac{y}{4d} ight )hat{x}$

Torque em relação ao ponto O:

Torque em cada carga: $| vec{ au} |=|qE_n(d-y_n)|$

• Carga 0: $y_1=0$ e $E_0$ → $| au _0| = qE_0d$

• Carga 1: $y_1=d-frac{dsqrt{2}}{2}$ e $E_1=E_0left ( 1-frac{1}{4}+frac{sqrt{2}}{8} ight )=E_0left ( frac{3}{4}+frac{sqrt{2}}{8} ight )$ → $| au _1| = qE_0d left ( frac{3}{4}+frac{sqrt{2}}{8} ight )frac{sqrt{2}}{2}$

• Carga 2: $y_2=d$ e $E_2=E_0frac{3}{4}$ → $| au _2| = 0$

• Carga 3: $y_3=d+frac{dsqrt{2}}{2}$ e $E_1=E_0left ( 1-frac{1}{4}-frac{sqrt{2}}{8} ight )=E_0left ( frac{3}{4}-frac{sqrt{2}}{8} ight )$ → $| au _3| = qE_0d left ( frac{3}{4}-frac{sqrt{2}}{8} ight )frac{sqrt{2}}{2}$

• Carga 4: $y_4=2d$ e $E_1=frac{E_0}{2}$ → $| au _0| = frac{qE_0d}{2}$

Desse modo, podemos somar os torques:

$vec{ au}=| au_0| +2| au_1| -2| au_3| -| au_4|$

$vec{ au }=qE_0d left [1 +left ( frac{3}{4}+frac{sqrt{2}}{8} ight )sqrt{2} -left ( frac{3}{4}-frac{sqrt{2}}{8} ight )sqrt{2}-frac{1}{2} ight ]$

$vec{ au }=qE_0d left [ frac{1}{2} +frac{3sqrt{2}}{4}+frac{1}{4}-frac{3sqrt{2}}{4}+frac{1}{4} ight ]$

$vec{ au }=qE_0d$

$| au |=|qE_0d|$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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