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Questão 76455

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere as seguintes matrizes:

$A = egin{bmatrix} 1 & -2\ -2 & 1 end{bmatrix}$ , $B = egin{bmatrix} 0 & 6\ 6 & 0 end{bmatrix}$ e $C = egin{bmatrix} 3 & 3\ 3 & 3 end{bmatrix}$

Determine os números $alpha epsilon mathbb{R}$ tais que a matriz $M= alpha^{2}A+ alpha B +C$ é invertível.

Gabarito:

Resolução:

$M=alpha^2 egin{bmatrix} 1 & -2\ -2 & 1 end{bmatrix}+alpha egin{bmatrix} 0 & 6\ 6 & 0 end{bmatrix}+ egin{bmatrix} 3 & 3\ 3 & 3 end{bmatrix}$

$M=egin{bmatrix} alpha^2+3 & -2alpha^2+6alpha+3 \ -2alpha^2+6alpha+3 & alpha^2+3 end{bmatrix}$

Veja que M é do tipo $M=egin{bmatrix} x & y \ y & x end{bmatrix}$ . Para M ser invertível:

$det(M)=egin{vmatrix} x & y\ y & x end{vmatrix} eq 0$

$x^2-y^2 eq 0$

$x^2 eq y^2$

$x eq pm y$

• $alpha^2+3 eq -2alpha^2+6alpha+3$

$3alpha^2 eq -6alpha$

$alpha^2 eq -2alpha$ → $alpha$ não pode ser 0 nem -2

• $alpha^2+3 eq 2alpha^2-6alpha-3$

$alpha^2-6alpha-6 eq 0$

$alpha eq frac{6 pm 2sqrt{15}}{2}$ → $alpha$ não pode ser $3+sqrt{15}$ nem $3-sqrt{15}$

Desse modo, encontramos os possíveis valores de $alpha$ :

$alpha in mathbb{R}-{ 0,-2,3 +sqrt{15}, 3-sqrt{15}}$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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