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Questão 76459

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Considere um triângulo ABC tal que $m(overline{AB})=4$ , $m(overline{AC})=5$ e BÂC = 60º . Seja D um ponto no lado $overline{AB}$ tal que $m(overline{AD}) = 1$ . Encontre o raio do círculo inscrito no triângulo BCD.

Gabarito:

Resolução:

Lei dos cossenos em ABC:

$x^2=4^2+5^2-2cdot frac{1}{2}cdot 4 cdot 5$

$x^2=16+25-20=21$

$x=sqrt{21}$

Lei dos cossenos em ACD:

$y^2=1^2+5^2-2cdot frac{1}{2}cdot 5 cdot 1$

$y^2=1+25-5=21$

$y=sqrt{21}$

Logo, o triângulo BCD é isósceles. E sua área é calculada da seguinte forma:

$h=sqrt{21-frac{9}{4}}=sqrt{frac{75}{4}}=frac{5sqrt{3}}{2}$

$A=frac{bh}{2}=frac{5sqrt{3}}{2}cdot frac{3}{2}=frac{15sqrt{3}}{4}$

Por fim, para encontrar o raio interno:

$A=p cdot R$ , em que $p$ é o semi-perímetro

$frac{15sqrt{3}}{4}=frac{3+2sqrt{21}}{2}R$

$R=frac{15sqrt{3}}{2(3+2sqrt{21})}cdot frac{(3-2sqrt{21})}{(3-2sqrt{21})}$

$R=frac{45sqrt{3}-90sqrt{7}}{-150}$

$R=frac{6sqrt{7}-3sqrt{3}}{10}$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a