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Questão 76460

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Determine os pontos P pertencentes à elipse E definida pela equação $frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ , tais que os segmentos de reta que ligam P aos focos de E formam um ângulo de 60º.

Gabarito:

Resolução:

$frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ → $a=2$ , $b=1$ e $c=sqrt{3}$

G e F são os focos da elipse E

Medidas dos lados do triângulo PGF:

• $PG^2=(x-sqrt{3})^2+(y-0)^2$

• $PF^2=(x+sqrt{3})^2+(y-0)^2$

• $GF^2=(2sqrt{3})^2=12$

Propriedade da elipse:

$PG+PF=2a=4$

$PG^2+2PGcdot PF+PF^2=16$ → $PF cdot PG =frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

Lei dos cossenos em PGF:

$GF^2=GP^2+PF^2-2 cdot PG cdot PF cdot frac{1}{2}$

$GF^2=GP^2+PF^2-PG cdot PF$

Substituindo a equação anterior:

$GF^2=GP^2+PF^2-frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

$12=frac{2GP^2+2PF^2}{2}-frac{ 16-PG^2-PF^2}{2}$

$12=frac{3GP^2+3PF^2-16}{2}$

$PG^2+PF^2=frac{40}{3}$

$(x-sqrt{3})^2+y^2+(x+sqrt{3})^2+y^2=frac{40}{3}$

$2x^2+2y^2+6=frac{40}{3}$

$x^2+y^2=frac{11}{3}$

Como ponto P pertence à elipse, temos que $frac{x^{2}}{4}+ y^{2}=1$ :

$x^2-frac{x^2}{4}=frac{11}{3}-1$

$frac{3x^2}{4}=frac{8}{3}$

$x=pm frac{4sqrt{2}}{3}$ e $y=pm frac{1}{3}$

Pontos possíveis: $P=left { left ( frac{4sqrt{2}}{3},frac{1}{3} ight ), left (- frac{4sqrt{2}}{3},frac{1}{3} ight ), left (- frac{4sqrt{2}}{3},-frac{1}{3} ight ), left ( frac{4sqrt{2}}{3},-frac{1}{3} ight ) ight }$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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