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Questão 76463

ITA

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

Gabarito:

Resolução:

1) Decágono → $n=10$

Total de diagonais:

$d=frac{n(n-3)}{2}$

$d=frac{10 cdot 7}{2}=35$

Total de possibilidade de se escolher duas diagonais:

$C_{35,2}=frac{35!}{33!2!}=595$

2) Vamos escolher duas diagonais quaisquer que se interceptam:

Note que cada par de diagonais que se interceptam forma internamente um quadrilátero. Desse modo, o número de pares de diagonais que se interceptam pode ser obtido pela quantidade de quadriláteros que podem ser formados no polígono:

$T_1=C_{10,4}=frac{10!}{4!6!}=210$ quadriláteros podem ser formados → 210 formas de se escolher duas diagonais, sendo que estas se interceptam internamente

3) Há outra possibilidade de cruzamento, que é a seguinte:

Escolha do vértice A: 10 possibilidades

Escolha de dois outros vértices para serem as outras extremidades das diagonais: $C_{7,2}=frac{7!}{5!2!}=21$

$T_2=10 cdot 21=210$

4) Subtraindo os casos que não queremos dos casos totais:

$T=595-T_1-T_2$

$T=595-210-210=175$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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