Questão 7680
AFA
(AFA - 2014) Sr. José deseja guardar 4 bolas – uma azul, uma branca, uma vermelha e uma preta – em 4 caixas numeradas:
O número de maneiras de Sr. José guardar todas as 4 bolas de forma que uma mesma caixa NÃO contenha mais do que duas bolas, é igual a
Gabarito:
204
Resolução:
1. Para o caso em que só há uma bola por caixa:
4 possibilidades para a caixa 1, 3 possibilidades para a caixa 2 e assim sucessivamente dando 4.3.2.1 = 4! = 24 possibilidades.
2. Para o caso em que há só uma caixa com duas bolas:
Vamos primeiro colocar 2 bolas na caixa que pode ter duas bolas desse caso 2.
Imagine uma caixa qualquer. De quantas maneiras posso colocar 2 das quatro bolas disponíveis nessa caixa? Eu devo fazer uma escolha de 2 bolas dentro de 4 possíveis e a ordem das bolas não importa, logo, são C4,2 = 6 possibilidades. Então na caixa que possui duas bolas, temos 6 possibilidades diferentes de configurações. Como isso ocorre só para uma das caixas de um total de 4 caixas, então temos 4 possibilidades: essas 6 possibilidades na caixa I ou na caixa II ou em III ou em IV.
Então temos 6*4 = 24 possibilidades de posicionar duas bolas aleatórias em uma mesma caixa.
Para cada caso acima que eu escolher, eu tenho que posicionar ainda nas outras 3 caixas que restam, as 2 bolas restantes. Por exemplo, se eu escolhi colocar as 2 bolas na caixa I, então as outras duas bolas eu tenho que posicionar nas caixas II a IV. Nesse caso, para a primeira bola nós temos 3 possíveis caixas onde podemos colocar essa bola e para a segunda bola nós temos 2 possíveis caixas onde podemos colocar essa caixa, logo são 6 possibilidades.
Logo, para cada caso em que escolho uma caixa aleatoriamente para colocar duas bolas escolhidas das 4 disponíveis no início, eu tenho 6 possibilidades de posicionar as outras duas bolas nas outras 3 caixas. Repare que acabamos considerando a ordem que posicionamos as bolas nas caixas restantes.
Pelo Princípio Multiplicativo, temos que o número de possibilidades total é:
Possbilidades de posicionar 2 bolas aleatórias em uma das 4 caixas * Possibilidades de posicionar as outras 2 bolas restantes nas 3 caixas restantes = 24 * 6 = 144 possibilidades.
3. Para o caso em que há duas caixas com duas bolas:
Vamos definir quantas possíveis configurações podemos ter de duas caixas, das 4, com duas bolas: para o primeiro par de bolas temos 4 possíveis caixas e para o segundo par de bolas temos 3 possíveis caixas. Isto nos dá 4*3 = 12 possíveis configurações de caixas com duas bolas. Isto porque a ordem das caixas importa já que estão enumeradas.
Agora só nos resta saber quantos possíveis pares desses podemos formar. Nós vamos escolher 2 cores dentre 4 possíveis para formar um par. Como cada par desse formado, o outro par vai ser o que resta das 4 bolas, então o teríamos que dividir o total de combinações por dois. Para ilustrar isto entenda que a ordem dos pares não importa, ou seja, os pares {azul, branca} e {vermelha, preta} são iguais aos pares {vermelha, preta} e {azul, branca}. Como o número de combinações é C4,2 = 6, então o número de pares possíveis é 6/2 = 3. Veja isto:
Considerando as cores Azul como A, Branca como B, Vermelha como V e Preta como P, temos os pares conforme a combinação de 4 de 2 em 2
AB e VP
AV e BP
AP e BV
BV e AP
BP e AV
VP e AB
Mas veja que a partir do terceiro conjunto de pares acima a gente tem uma repetição de pares, não é? Logo, o número total de pares que podemos formar são só três:
{AB} e {VP}, {AV} e {BP} e {AP} e {BV}.
Logo, o número de possíveis configurações de duas bolas em duas caixas é 12*3 = 36
4. Pelo princípio aditivo, devemos somar as possibilidades de 1., 2., e 3.:
24 + 144 + 36 = 204 possibilidades.
A Letra D está correta.