GuruGuia

Questão 81833

ITA

(ITA - 2024)

Uma esfera de raio R possui uma cavidade esférica interna de raio R/2 conforme mostra a figura. A cavidade tangencia internamente a esfera no seu ápice A, que está a uma altura H = 15R do ponto S, localizado no solo verticalmente abaixo. Os dois centros de curvatura e o ponto A se encontram na linha vertical que passa por S. A esfera é então abandonada de seu repouso em queda livre, atinge o solo em Se inverte seu movimento.

Considerando que a distribuição de massa é homogênea na região sólida do objeto e que o coeficiente de restituição da colisão é 0,80, a altura máxima alcançada pelo centro de massa da esfera após a colisão é aproximadamente igual a:

7,7R.

8,5R.

9,3R.

10,1R.

10,9R.

Gabarito:

9,3R.

Resolução:

Podemos começar calculando qual altura ficará o ponto mais baixo da esfera após a colisão.

Antes da colisão ela tem uma velocidade v, e após a colisão terá uma velocidade v'. Podemos calcular v' como:

$v=sqrt{2gh} ightarrow v=0,8v=sqrt{2gh}$

Na onde h' será a altura final do ponto mais baixo da esfera:

$0,64v^2=2gh ightarrow 0,64cdot2gh=2gh ightarrow 0,64h=h$

A altura do ponto mais baixo antes da colisão era 13R (o ponto mais alto estava a uma altura de 15R e o ponto mais baixo vai estar 2R abaixo do ponto mais alto), sendo assim:

$0,64cdot13R=8,32R$

Agora podemos vamos calcular o centro de massa:

$frac{m_2cdot R_1 -m_1cdot R_2}{m_2-m_1}$

Porém não temos informações quanto a massa, mas sabemos que a massa de uma esfera pode ser dada como:

$massa= densidade x volume$

$M= hocdot frac{4pi R^3}{3}$

Como temos que $hocdot frac{4pi}{3}$ é uma constante podemos chamar isso tudo de k, facilitando nossos cálculos. Sendo assim o novo centro de massa será:

$frac{kR_1^3cdot R_1-kR^3_2cdot R_3}{kR_1^3-kR_2^3}$

onde temos que R3 é o centro de massa da esfera menor em relação ao ponto mais baixo da esfera maior.

$R_3=R+frac{R}{2}=frac{3R}{2}$

Substituindo:

$frac{R^3cdot R-(frac{R}{2})^3cdot frac{3R}{2}}{R^3-(frac{R}{2})^3} ightarrow frac{1cdot R-frac{1}{8}cdot frac{3R}{2}}{1-frac{1}{8}} ightarrow frac{R-frac{3R}{16}}{frac{7}{8}} ightarrow frac{frac{13R}{16}}{frac{7}{8}} ightarrow frac{13}{14}R$

Sendo esse o novo centro de massa. Sendo então, a altura que o centro de massa subiu, a altura que a esfera voltou após a colisão (h') somada a posição do centro de massa:

$h+CM=8,32R+0,92R=9,24Rapprox 9,3R$

Letra C

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Ver questão

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Ver questão

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Ver questão

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

Ver questão