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Questão 81835

ITA

(ITA - 2024)

Na sua obra "Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo", Galileu Galilei cita a variação de tamanho aparente de Marte no céu como uma evidência de que os planetas não orbitavam a Terra:

Simplício: Mas quais são os indícios de que eles se movem em torno do Sol?

Salviati: Isso se conclui, para os três planetas superiores, Marte, Júpiter e Saturno, a partir de eles se encontrarem sempre muito próximos à Terra quando estão em oposição ao Sol, e muito distantes quando estão em conjunção; e estas aproximação e afastamento têm tanta importância que, quando Marte está próximo, vê-se 60 vezes maior que quando está afastadíssimo (MARICONDA, 2011, p. 404).

Com base nos dados disponíveis no trecho e sabendo que a razão apontada por Galileu refere-se à área aparente de Marte visto da Terra, assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do período de revolução de Marte ao redor do Sol em meses terrestres.

13 meses

18 meses

30 meses

42 meses

55 meses

Gabarito:

18 meses

Resolução:

Temos que a razão entre a área vista na distância mínima e na máxima é 60, em relação a Terra:

$frac{A_{1}}{A_2}=60$

Os raios das órbitas aparentes obedecem a relação:

$frac{R_{1}}{R_2}=sqrt{frac{A_1}{A_2}} ightarrow sqrt{60}=7,74$

Agora em relação a Marte, às distâncias são inversamente proporcionais aos raios:

$frac{d_{min}}{d_{max}}={frac{R_2}{R_1}} ightarrow frac{1}{7,74} ightarrow 7,74cdot d_{min}=d_{max}$

Vamos entender as distâncias:

A distância máxima entre Marte e a Terra é quando estão alinhados, porém um de lado do Sol e outro do outro lado:

Já a distância mínima, é quando os planetas estão alinhados, porém do mesmo lado do Sol:

Sendo assim:
$d_{max}=R_T+R_M$
$d_{min}=R_M-R_T$

Encontramos a relação entre distância máxima e a mínima, podemos fazer a relação:

$\7,74cdot(R_M-R_T)=R_T+R_M\ 7,74R_T+R_T=7,74R_M-R_M\8,74R_T=6,74R_M\\ frac{R_M}{R_T}=frac{8,74}{6,74}=1,3$

Agora da terceira lei de Kepler:

$frac{R^3_M}{T^2_M}=frac{R^3_T}{T^2_T} ightarrow frac{R_M^3}{R_T^3}=frac{T_M^2}{T_T^2} ightarrow 1,3^3=(frac{T_M}{T_T})^2$

$2,197=(frac{T_M}{T_T})^2 ightarrow sqrt{2,197}=frac{T_M}{T_T} ightarrow 1,48cdot T_T=T_M ightarrow 1,48cdot12=17,76$

Ou seja, 12 meses na Terra, são 17,76 meses em Marte, que são aproximadamente 18 meses.

Letra B

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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