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Questão 81899

ITA

(ITA - 2024)

Seja $z = 1 + ai$ uma raiz do polinômio $p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29$ , onde a e m são números reais. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são as quatro raízes complexas de p(x) no plano de Argand-Gauss.

Gabarito:

Resolução:

1) O enunciado diz que os coeficientes são reais, portanto, temos que 1 + ai e 1 - ai são raízes e as outras raízes são $w e ar{w}$ , vamos usar a relação de Girard:

$(1 + ai ) + ( 1 - ai) + w + ar{w} = 0$

$2 + w + ar{w} = 0$

$w + ar{w} = -2$

Então:

w = -1 + bi , sendo que b pertence aos reais.

2) Vamos usar Girard novamente:

Equação 1) $z . ar{z} + z . w + z . ar{w} + ar{z} . w + ar{w} . ar{z} + w. ar{w} = 10$

Equação 2) $z. ar{z} . w . ar{w} = 29$

Na equação 1, temos:

$a^{2} + b^{2} =12$

Na equação 2, temos:

$a^{2} + b^{2} + a^{2}. b^{2}=28$

Fazendo o sistema das duas equações acima, temos:

$left{egin{matrix} a^{2} + & b^{2} = & 12 \ a^{2} . b^{2} & = & 16 end{matrix} ight.$

$z^{2} -12z + 16 = 0$

Nesse casa temos: $a^{2} e b^{2} como raizes$

Portanto, temos que:

$a^{2} = 6 + 2 sqrt{5} e b^{2} = 6 - 2 sqrt{5}$

$a = pm (1 + sqrt{5}) e b = pm (1 - sqrt{5})$

As raízes são:

$1 + i (1+ sqrt{5}) ; 1 - i(1 + sqrt{5}); -1 + i(sqrt{5}-1) ; -1 - i (sqrt{5} - 1)$

Podemos observar que essas raízes formam um trapézio, então podemos calcular a sua área:

$A = frac{(B + b ). h }{2} = 4 sqrt{5}$

Podemos notar que as outras duas raízes do polinômio são conjugadas complexas, então:

$m = frac{(x_{3}^{2}+ 5)^{2} + 4 }{-x_{3} } = frac{(x_{4}^{2} +5)^{2} + 4}{-x_{4}}$

Se x3 for maior que 0, então m é menor que zero e se x4 for menor que zero, então m é maior que zero. Portanto, x3 + x4 = -2, temos que ter x3,x4 < 0.

No entanto, podemos perceber que o quadrilátero seria côncavo e assim dua área seria indefinida, portanto, podemos supor que x3 e x4 não pertence aos números reais, com isso:

x3 = w

x4 = w (conjugado)

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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