(Fgv 2012) Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é
Gabarito:
5/7
Resolução:
"Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é"
Se a última bola a ser retirada é a preta então retira-se primeiro as duas bolas pretas antes de se retirar as 5 bolas brancas.
Alguns acontecimentos notáveis precisamos ter em mente: se a primeira bola a ser retirada for preta e a segunda bola também for preta e se retirou-se primeiro 4 bolas brancas e uma bola preta para só depois, restando apenas uma bola branca e uma preta, se retirar a última preta. Estes dois eventos seriam os dois extremos que poderiam ocorrer.
A chave aqui é perceber que independendo do número de bolas retiradas, a probabilidade de a última ser a preta é constante. Por exemplo, no caso das duas primeiras já serem as pretas, a probabilidade seria:
P = probabilidade da primeira ser a preta x probabilidade da segunda ser a preta = 2/7 x 1/6 = 2/42 = 1/21.
Já se forem retiradas 5 bolas primeiramente, 4 brancas e 1 preta, a probabilidade da sexta bola retirada ser preta para que a última a ser retirada seja a preta é de:
Número de possibilidades em que podemos organizar as 5 primeiras bolas como sendo 4 brancas e 1 preta: 5 (PBBBB, BPBBB, BBPBB, BBBPB, BBBBP).
Probabilidade para cada caso:
PBBBB e P: Prob. = 2/7 x 5/6 x 4/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BPBBB e P: Prob. = 5/7 x 2/6 x 4/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBPBB e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 2/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBBPB e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 3/5 x 2/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBBBP e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 3/5 x 2/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
Logo, o problema aqui é definir quantos são os casos possíveis que podemos formar da quantidade de bolas retiradas: se foram retiradas só 2 (duas pretas), 3, 4, 5 ou 6 (nunca 7 pois aí tiraríamos a última bola branca primeiro que é algo que não queremos).
Se forem retiradas 2 bolas, só temos uma formação, PP.
Se forem retiradas 3 bolas, temos duas formações, PBP e BPP.
Se forem retiradas 4 bolas, temos três formações, BBPP, BPBP e PBBP.
Se forem retiradas 5 bolas, temos quatro formações, BBBPP, BBPBP, BPBBP e PBBBP.
Se forem retiradas 6 bolas, temos cinco formações, PBBBBP, BPBBBP, BBPBBP, BBBPBP e BBBBPP.
Logo, temos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 formações possíveis, cada uma com uma probabilidade de 1/21 de ocorrer, como visto acima. Logo:
Probabilidade da última ser preta é = 15 x (1/21) = 15/21 = 5/7 que nos dá Letra B como resposta.
(FGV - 2005)
Assinale a alternativa correta a respeito da frase "Toninho não era muito caprichoso. Vestiu a camisa de trás para a frente e saiu".
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(FGV - 2008)
No plural, a frase - Imposto direto sobre o contracheque era coisa, salvo engano, inexistente. - assume a seguinte forma:
Com a sociedade de consumo nasce a figura do contribuinte. Tanto quanto a palavra consumo ou consumidor, a palavra contribuinte está sendo usada aqui numa acepção particular. No capitalismo clássico, os impostos que recaíam sobre os salários o faziam de uma forma sempre indireta. Geralmente, o Estado taxava os gêneros de primeira necessidade, encarecendo-os. Imposto direto sobre o contra-cheque era coisa, salvo engano, inexistente. Com o advento da sociedade de consumo, contudo, criaram-se as condições políticas para que o imposto de renda afetasse uma parcela significativa da classe trabalhadora. Quem pode se dar ao luxo de consumir supérfluos ou mesmo poupar, pode igualmente pagar impostos.
Fernando Haddad, Trabalho e classes sociais. Em: Tempo Social, outubro de 1997.
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(FGV - 2008)
Assinale a alternativa em que a mudança da posição do adjetivo no texto altera o sentido da frase.
ESTAMOS CRESCENDO DEMAIS?
O nosso "complexo de vira-lata" tem múltiplas facetas. Uma delas é o medo de crescer. Sempre que a economia brasileira mostra um pouco mais de vigor, ergue-se, sinistro, um coro de vozes falando em "excesso de demanda" "retorno da inflação" e pedindo medidas de contenção.
O IBGE divulgou as Contas Nacionais do segundo trimestre de 2007. Não há dúvidas de que a economia está pegando ritmo. O crescimento foi significativo, embora tenha ficado um pouco abaixo do esperado. O PIB cresceu 5,4% em relação ao segundo trimestre do ano passado. A expansão do primeiro semestre foi de 4,9% em comparação com igual período de 2006.(...)
A turma da bufunfa não pode se queixar. Entre os subsetores do setor serviços, o segmento que está "bombando" é o de intermediação financeira e seguros - crescimento de 9,6%. O Brasil continua sendo o paraíso dos bancos e das instituições financeiras.
Não obstante, os porta-vozes da bufunfa financeira, pelo menos alguns deles, parecem razoavelmente inquietos. Há razões para esse medo? É muito duvidoso. Ressalva trivial: é claro que o governo e o Banco Central nunca podem descuidar da inflação. Se eu fosse cunhar uma frase digna de um porta-voz da bufunfa, eu diria (parafraseando uma outra máxima trivializada pela repetição): "O preço da estabilidade é a eterna vigilância".
Entretanto, a estabilidade não deve se converter em estagnação. Ou seja, o que queremos é a estabilidade da moeda nacional, mas não a estabilidade dos níveis de produção e de emprego.
A aceleração do crescimento não parece trazer grande risco para o controle da inflação. Ela não tem nada de excepcional.
O Brasil está se recuperando de um longo período de crescimento econômico quase sempre medíocre, inferior à média mundial e bastante inferior ao de quase todos os principais emergentes. O Brasil apenas começou a tomar um certo impulso. Não vamos abortá-lo por medo da inflação.
(Folha de S.Paulo, 13.09.2007. Adaptado)
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