Questão 7409
ACAFE
(Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas.
( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz 2A é 48
( ) O sistema não admite solução para a = 12 e b = 20.
( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, detA 0.
( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
A sequência correta, de cima para baixo, é::
Gabarito:
V - F - V - F
Resolução:
1°- Pelas propriedades dos determinantes, caso uma quadrada A de ordem n seja multiplicada por um número k, seu determinante é multiplicado por . Nesse caso, a matriz A é multiplicada por 2 e é de ordem 4, sendo assim,
. Logo, verdadeiro.
2°- Se substituirmos os valores no sistema temos: , após isso verifique se ele tem solução usando a regra de Cramer. A matriz será essa:
. Calculando o determinante:
. Como o determinante é 0, essa matriz pode representar um sistema impossível ou um sistema possível indeterminado. Vamos calcular a matriz dos coeficientes:
Como também são 0, o sistema é possível e indeterminado, admite solução, porém não podemos a determinar. Logo, falso.
3°-
Uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Isso ocorre porque a inversa de uma matriz é definida como a matriz que, quando multiplicada pela matriz original, produz a matriz identidade. Matematicamente, se A é a matriz original e A^-1 é sua inversa, então:
A * A^-1 = I
onde I é a matriz identidade.
Se o determinante de A for zero, isso significa que a matriz não tem inversa, porque não é possível encontrar uma matriz que, ao ser multiplicada por A, resulte em I. Logo, verdadeiro
4°- Os produtos notáveis não se aplicam à operações com matrizes, a potenciação é da matriz resultante da soma de A+B. Logo, falso.
Resposta: a)