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Questão 7144

FAMERP

(Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na equação det(M - λI) = 0, em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det representa o determinante da matriz (M - λI).

Se, em um desses estudos, tem-se M

$M = egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}$

o valor positivo de λ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

1) Primeiramente calcularemos M - λI:

$egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}-lambda egin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}0&17&2\ 2&0&0\ 1&0&0end{pmatrix}-egin{pmatrix} lambda &0&0\ 0& lambda &0\ 0&0& lambda end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}- lambda &17&2\ 2&- lambda &0\ 1&0&- lambda end{pmatrix}$

2) Calculando o determinante de M - λI:

2,1) Usando a fórmula:

$egin{vmatrix}a&b&c\ d&e&f\ g&h&iend{vmatrix}=acdot egin{vmatrix}e&f\ h&iend{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix}d&f\ g&iend{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix}d&e\ g&hend{vmatrix}$

2.2) Desenvolvendo:

$egin{vmatrix}- lambda &17&2\ 2&- lambda &0\ 1&0&- lambda end{vmatrix} = -lambda egin{vmatrix}-lambda &0\ 0&-lambda end{vmatrix}-17cdot egin{vmatrix}2&0\ 1&-lambda end{vmatrix}+2cdot egin{vmatrix}2&-lambda \ 1&0end{vmatrix}$

2.3)

$\ mathrm{Encontramos:o:determinante:da:matriz:de:acordo:com:} \ \ quad :egin{vmatrix}a:&:b:\ c:&:d:end{vmatrix}:=:ad-bc$

2.4) Resolvendo:

$-lambda (left(-lambda ight)left(-lambda ight)-0cdot :0) -17cdot (2left(-lambda ight)-0cdot :1)+2cdot (2cdot :0-left(-lambda ight)cdot :1)$

$-lambda lambda ^2-17left(-2lambda ight)+2lambda$

$-lambda ^3+36lambda$

3) Como det(M - λI) = 0

Temos que:

$-lambda ^3+36lambda = 0$

$-lambda left(lambda ^2-36 ight) = 0$

$-lambda left(lambda +6 ight)left(lambda -6 ight) = 0$

4) Logo, $lambda _1=0,:lambda _2 =-6,:lambda _3=6$

5) Logo o valor positivo de λ é igual a 6.

Questão 8380

FAMERP

(Famerp 2017)

O elemento estrôncio ocorre na natureza como componente de dois minerais: a estroncianita, SrCO₃ (massa molar 147,6 g/mol), e a celestita, SrSO₄ (massa molar 183,6 g/mol). A partir desses minerais são obtidos os sais de estrôncio, utilizados na pirotecnia para conferir a cor vermelho-carmim intensa a fogos de artifício.

Considere a relação:

O valor desse quociente é, aproximadamente,

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Questão 16982

FAMERP

(FAMERP - 2017) Os rins podem excretar grande quantidade de urina diluída ou pequeno volume de urina concentrada sem grandes alterações nas excreções de solutos, como sódio e potássio. As ações do hormônio antidiurético (ADH) têm papel fundamental no controle do grau de diluição ou concentração da urina. A secreção de ADH pode ser aumentada ou diminuída por estímulos no sistema nervoso central, bem como por diversos fármacos e hormônios.

A liberação do ADH é estimulada pelo

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Questão 20077

FAMERP

(Famerp 2017) O elemento estrôncio ocorre na natureza como componente de dois minerais: a estroncianita, SrCO₃ (massa molar 147,6 g/mol), e a celestita, SrSO₄ (massa molar 183,6 g/mol). A partir desses minerais são obtidos os sais de estrôncio, utilizados na pirotecnia para conferir a cor vermelho-carmim intensa a fogos de artifício.

Considere a relação:

O valor desse quociente é, aproximadamente,

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