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Questão 74141

UFPR

(UFPR - 2021 - 1ª FASE)

Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio $r>0$ com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números complexos: $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}$ . Supondo que os 6 números complexos são vértices de um hexágono regular e que $z_{1}$ está no eixo x, considere as seguintes equações:

$z_{2} + z_{6} = r^{2}$
$overline{z_{3}} = z_{5}$
$z_{2} cdot z_{3} = z_{4}$
$frac{z_{5}}{z_{6}} = frac{z_{6}}{r}$

Assinale a alternativa correta.

Somente a equação 3 é verdadeira.

Somente as equações 1 e 3 são verdadeiras.

Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Somente as equações 1, 2 e 4 são verdadeiras.

As equações 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

Gabarito:

Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Resolução:

Notamos pela figura que os complexos $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ , $z_5$ e $z_6$ correspondem às raízes da equação $z^6=r^6$ , que é similar ás raízes sextas da unidade. Mas não podemos considerar $z^6=1$ , porque não foi informado o valor de $r$ .

$z^6=r^6$

$|z|^6 cis(6 heta)=r^6 cdot cis(0)$

$|z|=r$ e $6 heta = 0+2kpi$

$z=rcis left ( frac{kpi}{3} ight )$ , em que $k in mathbb{N}$

Assim: $z_1 =r cis(0)$ , $z_2 =r cisleft ( frac{pi}{3} ight )$ , $z_3 = rcisleft ( frac{2pi}{3} ight )$ , $z_4 =r cisleft ( pi ight )$ , $z_5 =r cisleft ( frac{4pi}{3} ight )$ , $z_6 =r cisleft ( frac{5pi}{3} ight )$ .

Análise das equações:

1. $z_{2} + z_{6} = r^{2}$

$z_2 +z_6= rcisleft ( frac{pi}{3} ight )+rcisleft ( frac{5pi}{3} ight )$

$z_2 +z_6=frac{r}{2}+frac{rsqrt{3}i}{2}+frac{r}{2}-frac{rsqrt{3}i}{2}=r$ ⇒ incorreto

2. $overline{z_{3}} = z_{5}$

$overline{z_3} =r cisleft ( frac{2pi}{3} ight )= rcisleft (- frac{2pi}{3} ight )$

$overline{z_3} = rcisleft ( frac{4pi}{3} ight ) = z_5$ ⇒ correto

3. $z_{2} cdot z_{3} = z_{4}$

$rcisleft ( frac{pi}{3} ight ) cdot rcisleft ( frac{2pi}{3} ight ) =$

$r^2cisleft ( frac{pi}{3} + frac{2pi}{3} ight ) =r^2cis(pi)=rz_4$ ⇒ incorreto

4. $frac{z_{5}}{z_{6}} = frac{z_{6}}{r}$

$z_6^2=z_5 cdot r$

$r^2cisleft ( frac{5pi}{3} ight )^2 =r^2 cisleft ( frac{2 cdot 5pi}{3} ight )$

$r^2cisleft ( frac{10pi}{3} ight )=r^2cisleft ( frac{4pi}{3} ight )=rz_5$ ⇒ correto

Equações 2 e 4 são corretas. Alternativa correta é Letra C.

Questão 2164

UFPR

(UFPR)

Em 'Ele morreu de fome', a expressão sublinhada classifica-se como:

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Questão 2766

UFPR

(Ufpr 2008)

O autor apresenta como característica fundamental da televisão a seriação. Segundo ele, essa característica

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Questão 2767

UFPR

(Ufpr 2008)

Tendo em vista o texto, considere as afirmações a seguir:

1. A indecisão entre a ética particularista (da casa, amigos, família) e a ética universalista (da rua, do mundo público) é algo que nasce na esfera política e a ela se restringe.

2. O tratamento da corrupção no Brasil é marcado pela duplicidade ética que leva a condenar os estranhos, mas relevar os delitos das pessoas próximas.

3. O combate à corrupção do governo Lula mostrou que ela está vinculada a determinadas ideologias e partidos políticos.

4. A resistência de parlamentares a julgar o presidente do Congresso Nacional faz prevalecer a ética da casa em detrimento da ética da rua.

Assinale a alternativa correta

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Questão 2873

UFPR

(UFPR - 2016 - 1ª FASE)

“E não gostavas de festa... / Ó velho, que festa grande / hoje te faria a gente”. Esses são os versos de abertura do poema “A Mesa”, parte integrante do livro Claro Enigma, de Carlos Drummond de Andrade. Neles podem ser identificados alguns elementos do poema, entre os quais o destinatário, um patriarca, a quem o eu lírico se dirige ao longo de centenas de versos. A respeito de “A Mesa” e de sua integração com outros poemas do mesmo livro, assinale a alternativa correta.

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