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Questão 1336

IME

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de que tornam o determinante da matriz A nulo é:

Gabarito: 7

Resolução:

1) Reduzindo a matriz a forma escalonada:

1.1) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_1:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ x^2&1&x-1&2\ 1&x+4&0&0\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.2) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_2:mathrm{:realizando}:R_2:leftarrow :R_2-xcdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 1&x+4&0&0\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.3) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-frac{1}{x}cdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.4) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{1}{x}cdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}end{vmatrix}$

1.5) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_2:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)end{vmatrix}$

1.6) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-frac{x^2+4x+1}{2x^2+1}cdot :R_2$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)end{vmatrix}$

1.7) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{xleft(1+x ight)}{2x^2+1}cdot :R_2$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}end{vmatrix}$

1.8) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_3:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}end{vmatrix}$

1.9) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4+frac{x-4}{-2x^2+x}cdot :R_3$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}\ 0&0&0&frac{left(-x+4 ight)left(x-3 ight)}{-2x+1}end{vmatrix}$

2) $mathrm{O:determinante:da:matriz:equivale:ao:produto:diagonal:da:matriz}$

$xfrac{2x^2+1}{x}cdot frac{-2x^2+x}{2x^2+1}cdot frac{left(-x+4 ight)left(x-3 ight)}{-2x+1}=xleft(-x+4 ight)left(x-3 ight)$

3) $mathrm{Trocando:duas:filas:torna-se:negativo:o:determinante,:portanto:multiplicar:o:resultado:por}:left(-1 ight)^3$

$-xleft(-x+4 ight)left(x-3 ight)$

4) Com isso,

$-xleft(-x+4 ight)left(x-3 ight)=0$

5) Assim, x=0, x=4 e x=3

6) A soma do módulo dos valores de que tornam o determinante da matriz A nulo é

0+4+3=7

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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