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Questão 43560

IME

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

De quantas maneiras podemos decompor um eneágono convexo em triângulos traçando suas diagonais, de forma que essas diagonais não se cortem?

Gabarito:

Resolução:

Seja $T_{n}$ o número de maneiras de triangularizar um polígono convexo de n lados.

Temos que:

Lado P1P2 formando triângulo com vértice P3: $T_{n-1}$ possibilidades.
Lado P1P2 formando triângulo com vértice P4: T3 . $T_{n-2}$ possibilidades.
Lado P1P2 formando triângulo com vértice P5: T4 . $T_{n-1}$ possibilidades.

...

Lado P1P2 formando triângulo com vértice $P_{n}$ : $T_{n-1}$ possibilidades.

Portanto: $T_{n}=T_{n-1}+T_{3}.T_{n-2}+T_{4}.T_{n-3}+...T_{n-3}.T_{4}+T_{n-2}.T_{3}+T_{n-L}$

Mas essa é a recorrência dos números de Catalão, ou seja,

$T_{n}=C_{n-2},$ $forall n=3$

Portanto,

$T_{9}=C_{7}=frac{1}{8}. (frac{14}{7})=429$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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