(ITA – 2014) (2ª fase)
Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão . A soma dos comprimentos de C1, C2 e C3 é igual a 26
cm. Determine:
a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3.
b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado.
Gabarito:
Resolução:
a) Conforme o enunciado, temos:
Como ,
e
formam uma progressão geométrica, nessa ordem e de razão
, temos que:
e
Substituindo na primeira expressão, temos:
Com isso temos que e
.
Dessa forma podemos construir a seguinte figura:
O triângulo ABC é tal que: ,
e
, logo seu semiperímetro será
Calculando a área do triângulo utilizando a medida dos seus lados e seus semiperímetros, temos:
b) Traçando a altura h do triângulo em relação ao lado AB, teremos o raio de rotação para geração do sólido.
Sabendo que a área do triângulo é , temos:
Rotacionando o sólido em torno do segmento AB, teremos:
Aqui podemos notar que o nosso sólido é formado por dois cones de raio e alturas
e
, logo:
(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:
I. Se x, y ∈
, com y ≠ – x, então x + y ∈
;
II. Se x ∈ e y ∈
, então xy ∈
;
III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,
é (são) verdadeira(s):
Ver questão
Considere as funções f, g : →
, f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:
I. Se A = B, então a = b e m = n;
II. Se A = , então a = 1;
III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,
é (são) verdadeira(s)
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