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Questão 35849

ITA

(ITA – 2014) (2ª fase)

Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no plano xy definida por

$mathrm{x^2 + y^2 - 2x -4y + 4 leq 0}$ .

Um plano, contendo a reta y – x = 0 e paralelo ao eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule a área total da superfície do menor sólido.

Gabarito:

Resolução:

Perceba que:

$x^{2} + y^{2} - 2x -4y + 4 leq 0$

Completando quadrados:

$(x-1)^{2} + (y-2)^{2} leq 1$

Podemos representar esse plano da seguinte forma:

O plano que contém a reta y-x = 0 é paralelo ao eixo do cilíndro e divide este em dois sólidos.

O menor é um segmento cilíndrico cujas bases são iguais ao segmento circular hachurado, o qual é limitado por um segmento de reta de comprimento $sqrt{2}$ e um arco de comprimento igual a: $2 pi dot 1 cdot frac{1}{4} = frac{pi}{2} cm$

Como a altura desse sólido terá altura igual a 1 centímetro, podemos calcular sua área total A:

$A = (frac{pi}{2} + sqrt{2}) cdot 1 + 2 cdot (frac{frac{pi}{2} cdot 1}{2} - frac{1cdot 1}{2})$

$A = (pi + sqrt{2} - 1) cm^{2}$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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