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Questão 35852

ITA

(ITA – 2014) (2ª fase) Determine as soluções reais da equação em x, $mathrm{(log_4 x)^3 - log_4 (x^4) - 3} frac{mathrm{log}_{10}16 mathrm{x}}{mathrm{log}_{100}16} = 0$ .

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo algebricamente os termos, temos:

$dfrac{log_{10}{16x}}{log_{100}{16}} = dfrac{frac{log_{4}{16x}}{log_{4}{10}}}{frac{log_{4}{16}}{log_{4}{10^2}}} =$

$= dfrac{frac{log_{4}{16x}}{log_{4}{10}}}{frac{2}{2log_{4}{10}}} = log_{4}{16x} =$

$= log_{4}{16}+log_{4}{x} = 2 + log_{4}{x}$

Substituindo esse valor encontrado na equação principal, temos:

$left (log_{4}{x} ight )^3 - log_{4}{(x^4)} - 3 cdot(2 + log_{4}{x}) = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (log_{4}{x} ight )^3 - 4log_{4}{x} - 6 -3log_{4}{x} = 0 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left (log_{4}{x} ight )^3 - 7log_{4}{x} - 6 = 0$

Se tomarmos $log_{4}{x} = y$ , teremos:

$y^3 - 7y - 6 = 0 Leftrightarrow (y-3)(y^2+3y+2) = 0$

Portanto, as raízes serão: $y = 3$ , $y = -2$ ou $y = -1$

Logo as soluções reais da equação são:

$log_{4}{x} = 3 Rightarrow x = 4^3 Rightarrow x = 64$

$log_{4}{x} = -2 Rightarrow x = 4^{-2} Rightarrow x = frac{1}{16}$

$log_{4}{x} = -1 Rightarrow x = 4^{-1} Rightarrow x = frac{1}{4}$

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

Questão 3

ITA

A soma é igual a

Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a