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Questão 33072

IME

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Calcule o valor do determinante:

$egin{vmatrix} 4 & 2 & 1 \ log(81) & log(900) & log(300) \ (log(9))^2 & 2 + 4log(3) + 2(log(3))^2 & (log(3) + 2)^2 end{vmatrix}$

Gabarito:

Resolução:

Seja D o determinante pedido. Então:

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ log81&log900 &log300 \ (log 9)^{2}&2+4log3+2cdot(log3)^{2} & (log3+2)^{2} end{vmatrix}$

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4log3&2+2log3 &2+log3 \ (2log 3)^{2}&2+4log3+2cdot(log3)^{2} & (log3+2)^{2} end{vmatrix}$

Seja log 3 = a. Então:

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4a&2+2a &2+a \ (2a)^{2}&2+4a+2 a^{2} & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D=egin{vmatrix} 4 & 2 &1 \ 4a&2(a+1) &a+2 \ 4a&2a^{2}+4a+2 & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D= 4 cdot 2egin{vmatrix} 1 & 1 &1 \ a&(a+1) &a+2 \ a^{2}&a^{2}+2a+1 & (a+2)^{2} end{vmatrix}$

$D= 8egin{vmatrix} 1 & 1 &1 \ a&a+1 &a+2 \ a^{2}&(a+1)^{2} & (a+2)^{2} end{vmatrix}$ --> Determinante de Vandermonde

Logo, pela propriedade de Vandermonde, temos:

$D= 8cdot [(a+2)-(a+1)]cot[(a+2)-a]cdot[(a+1)-a]$

$D= 8cdot 1 cdot 2 cdot 1 = 16$

Resposta E

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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