Questão 33793
IME
(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)
Um jogo de dominó possui 28 peças com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada peça seja única, conforme ilustra a Figura 1.
O jogo se desenrola da seguinte forma:
1- Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada.
2- No início do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peças, de forma aleatória, de modo que somente o detentor das peças possa ver seu conteúdo.
3- As ações ocorrem por turnos no sentido anti-horário.
4- O jogador com a peça 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas ações possíveis:
a. Adiciona uma de suas peças de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peças sejam encaixadas com pontas de mesmo valor.
b. Passa a vez, caso não possua nenhuma peça com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa.
5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peças na mão.
No jogo da Figura 2, é a sua vez de jogar e você constatou que o jogador à sua direita não possui peças com ponta 5 e o jogador à sua frente não possui peças com ponta 0. Você analisou todas as possíveis configurações de peças que os jogadores podem ter em suas mãos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa só possa ser usada por uma peça de sua posse, e que esta será a sua última peça em mão. Ao utilizar essa estratégia:
a) Quantas configurações de peças nas mãos dos jogadores garantem a vitória do jogo a você?
b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configurações possíveis?
Observação:
• A ordem das peças na mão de um jogador não importa.
Gabarito:
Resolução:
Dadas as configurações, concluiu-se que a peça está com o jogador da esquerda (E). Vamos mostrar que, se E tem a peça
, então ele necessariamente vence.
Obs:
Caso 1:
"E" tem e
. Logo, "D"
, "F"
As demais escolhas não o levam a ter uma mão livre para a jogada final.
Caso :
Se não é
, então o jogador "E" passa a vez e retornará a vez para o jogador inicial com escolha dos pontos 2 ou 3. Logo, ele certamente terá peça para jogar as próximas 2 rodadas e ganhará o jogo necessariamente.
Número de formações:
Caso : 1 formação (não favorável)
Caso : (favoráveis)
Se
não tem
.
está no jogador "D" (Direita), logo
.
Logo: