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Questão 35497

ITA

(ITA - 2018 - 2ª FASE)

Quantos pares de números inteiros positivos $(A,B)$ existem cujo mínimo múltiplo comum é $126 cdot 10^3$ ? Para efeito de contagem, considerar $(A,B) equiv (B,A)$

Gabarito:

Resolução:

Fatorando o número $126cdot 10^3$ , temos:

$126cdot 10^3 = 2^4cdot 3^2cdot 5^3cdot 7^1$

Seja $A = 2^acdot 3^b cdot 5^ccdot 7^d$ e $B = 2^{x}cdot 3^{y} cdot 5^{z}cdot 7^{w}$

Como $A$ e $B$ têm $126cdot 10^3$ como mínimo múltiplo comum teremos que o expoente máximo de cada fator primo terá que ser o próprio expoente da fatoração. Dessa foram, temos:

$Max(a,x) = 4$ , isso implica que os possíveis valores de $a$ e $x$ são: $left {(0,4),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(4,0) ight }$

$Max(b,y) = 2$ , isso implica que os possíveis valores de $a$ e $x$ são: $left {(0,2),(1,2),(2,2),(2,1),(2,0) ight }$

$Max(c,z) = 3$ , isso implica que os possíveis valores de $a$ e $x$ são: $left {(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0) ight }$

$Max(d,w) = 4$ , isso implica que os possíveis valores de $a$ e $x$ são: $left {(0,1),(1,1),(1,0) ight }$

O número de possibilidades para os expoentes de cada um dos fatores são essas listadas a cima.

Agora vamos dividir em dois casos, $A=B$ e $A eq B$ .

O número de possibilidades para $A$ e $B$ , tais que $A eq B$ e $MMC(A,B) = 126cdot 10^3$ , usando o princípio multiplicativo com as possibilidades listadas acima, teremos:

$9cdot 5cdot 7cdot 3 - 1 = 944$ , porém no enunciado é dito para desconsiderarmos as permutações, por tanto, teremos $frac{944}{2} = 472$ possibilidades.
Para $A$ e $B$ , tais que $A=B$ e $MMC(A,B) = 126cdot 10^3$ a única possibilidade será $A = B = 126cdot 10^3$

Portanto, o número total de possibilidades será $473$ .

Questão 1

ITA

(ITA - 2014 - 1ª FASE) Das afirmações:

I. Se x, y ∈ , com y ≠ – x, então x + y ∈ _;

II. Se x ∈ e y ∈ , então xy ∈ ;

III. Sejam a, b, c ∈ , com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora,

é (são) verdadeira(s):

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Questão 2

ITA

Considere as funções f, g : → , f(x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n, são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo:

I. Se A = B, então a = b e m = n;

II. Se A = , então a = 1;

III. Se a, b, m, n ∈ , com a = b e m = – n, então A = B,

é (são) verdadeira(s)

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Questão 3

ITA

A soma é igual a

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Questão 4

ITA

Se z ∈ , é igual a

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