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Questão 67274

IME

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) Seja um triângulo acutângulo $igtriangleup ABC$ onde $h_B$ e $h_C$ são as alturas dos vértices $B$ e $C$ , respectivamente, e $overline{BC} = a$ . Sabendo-se que $frac{h_Bh_C}{a^2} = frac{sqrt{6}}{4}$ e $cos hat{A} + cos hat{B}cos hat{C} = frac{p}{qsqrt{m}}$ , calcule $p+q+m$ .

Dados:

$p$ , $q$ e $m$ são números naturais;
$p$ e $q$ são primos entre si; e
$m$ é o menor possível.

Gabarito:

Resolução:

$Delta ABC$ é acutângulo.

Da lei dos senos:

$sen(B)=frac{h_c}{a}$

$sen(C)=frac{h_b}{a}$

Multiplicando ambos:

$frac{h_bcdot h_c}{a^2}=underset{(I)}{sen(B)cdot sen(C)}=frac{sqrt{6}}{4}$

Mas temos:

$cos(B)cdot cos(C)-underset{(I)}{sen(B)cdot sen(C)}=cos(B+C)$

$sen(B)cdot sen(C)=cos(B)cdot cos(C)-cos(B+C)$

$cos(B+C)=cos(180-A)=-cos(A)$ , pois $A+B+C=180$ , então:

$sen(B)cdot sen(C)=frac{sqrt{6}}{4}=cos(B)cdot cos(C)=frac{p}{qsqrt{m}}=frac{sqrt{6}}{4}cdot frac{sqrt{6}}{sqrt{6}}=frac{3}{2sqrt{6}}=frac{p}{qsqrt{m}}$

logo:

$p+q+m=3+2+6=11$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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