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Questão 67272

IME

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos números a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i é a unidade imaginária tal que i²= -1. O ponto a é a rotação de 30º do ponto b em torno da origem no sentido anti-horário. Determine o valor do produto xy.

Gabarito:

Resolução:

A imagem a seguir ilustra a situação descrita no enunciado:

$bcdot cis(30^circ )=a$

$(y+3i)cdot (frac{sqrt{3}}{2}+frac{i}{2})=(9+xi)$

$frac{sqrt{3}y}{2}+frac{iy}{2}+ frac{3sqrt{3}i}{2}-frac{3}{2}=9+xi$

Assim, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

$left{egin{matrix} frac{sqrt{3}y}{2}-frac{3}{2}=9\frac{3sqrt{3}}{2}+frac{y}{2}=x end{matrix} ight.$

$sqrt{3}y-3=18$

$sqrt{3}y=21$

$y=frac{21}{sqrt{3}}$

$y=7sqrt{3}$

$3sqrt{3}+y=2x$

$2x=3sqrt{3}+7sqrt{3}=10sqrt{3}$

$x=5sqrt{3}$

Produto $xy$ :

$xy=5sqrt{3}cdot 7sqrt{3}$

$xy=35cdot 3$

$xy=105$

Questão 992

IME

(IME 2007)

O gráfico acima apresenta a velocidade de um objeto em função do tempo. A aceleração média do objeto no intervalo de tempo de 0 a 4t é:

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Questão 993

IME

(IME 2007) Um cubo de material homogêneo, de lado L = 0,4 m e massa M = 40 kg, está preso à extremidade superior de uma mola, cuja outra extremidade está fixada no fundo de um recipiente vazio. O peso do cubo provoca na mola uma deformação de 20 cm. Coloca-se água no recipiente até que o cubo fique com a metade de seu volume submerso. Se a massa específica da água é , a deformação da mola passa a ser:

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Questão 994

IME

(IME 2007) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita:

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Questão 995

IME

(IME 2007) Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica, seguida de uma compressão adiabática. A variação total da energia interna do gás poderá ser nula se, dentre as opções abaixo, a transformação seguinte for uma:

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